Câu hỏi của Big City Boy

Question

CMR: Không tồn tại a, b thuộc Z sao cho: $\left(a+b\sqrt{2}\right)^2=2004+2003\sqrt{2}$

Minh Hiếu · Accepted Answer

Giả sử tồn tại $a,b\inZa,b\inZ$ thỏa mãn ycđb

ĐKĐB $⇔$a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}=2004+2003\sqrt{2}$$

$⇔$\left(a^2+2b^2-2004\right)=\sqrt{2}\left(2003-2ab\right)$$

$⇔$\sqrt{2}=\dfrac{a^2+2b^2-2004}{2003-2ab}\left(1\right)$$

Với $a,b$ nguyên thì $\dfrac{a^2+2b^2-2004}{2003-2ab}$ là số hữu tỉ.

Mà $\sqrt22$ là số vô tỉ (đây là bài toán quen thuộc)

Do đó $\left(1\right)$ vô lý, hay điều giả sử là sai, tức là không tồn tại $a,b\inZ$ thỏa mãn đkđb.

Câu trả lời:

Giả sử tồn tại $a,b\inZa,b\inZ$ thỏa mãn ycđb

ĐKĐB $⇔$a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}=2004+2003\sqrt{2}$$

$⇔$\left(a^2+2b^2-2004\right)=\sqrt{2}\left(2003-2ab\right)$$

$⇔$\sqrt{2}=\dfrac{a^2+2b^2-2004}{2003-2ab}\left(1\right)$$

Với $a,b$ nguyên thì $\dfrac{a^2+2b^2-2004}{2003-2ab}$ là số hữu tỉ.

Mà $\sqrt22$ là số vô tỉ (đây là bài toán quen thuộc)

Do đó $\left(1\right)$ vô lý, hay điều giả sử là sai, tức là không tồn tại $a,b\inZ$ thỏa mãn đkđb.