Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{87}{89}< \frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2011\sqrt{2010}}< \frac{88}{45}\)
Đặt \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2011\sqrt{2010}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}=\frac{1}{\sqrt{k\left(k+1\right)}}>\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}>\frac{1}{\left(k+1\right)k}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)
\(\Rightarrow1-\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2010}}-\frac{1}{\sqrt{2011}}>A>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}\)
\(\Rightarrow1-\frac{1}{\sqrt{2011}}>A>1-\frac{1}{2011}\)
\(\Rightarrow\frac{88}{45}>\frac{2011-\sqrt{2011}}{2011}>A>\frac{2010}{2011}>\frac{87}{89}\)
\(\Rightarrow\frac{87}{89}< \frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2011\sqrt{2010}}< \frac{88}{45}\)
Câu a:
Có dạng tổng quát:\(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}+k\sqrt{x+1}}=\frac{1}{\sqrt{\left(k+1\right)k}\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{\left(k+1\right)k}}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k-1}}\)
Áp dụng kết quả trên suy ra câu a
Xét với n là số tự nhiên không nhỏ hơn 1 , ta có
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Áp dụng điều trên :
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2010\sqrt{2009}}< \)
\(< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2009}}-\frac{1}{\sqrt{2010}}\right)=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2010}}\right)< \)
\(< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2025}}\right)=\frac{88}{45}\)