NH
8
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
26 tháng 2 2020
Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1\cdot2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2\cdot3};....;\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(\Rightarrow D< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(\Leftrightarrow D< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(\Leftrightarrow D< 1-\frac{1}{n}\)
\(\Leftrightarrow D< 1\left(đpcm\right)\)
26 tháng 2 2020
Với k là số tự nhiên ta có
k²>k²-k=k(k-1)
=>1/k²<1/[k(k-1)]=[(k-(k-1)]/[k(k-1)]=1/(k-1)-1/k.
Áp dụng BĐT trên ta có
D<1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n
=1-1/n
<1(dpcm)
YK
0
IS
1
24 tháng 3 2017
Ta có D = 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/100^2
= 1/4 + ( 1/3.3 + ... + 1/100.100 )
Ta thấy
1/3.3 < 1/2.3
...
1/100.100 < 1/99.100
Suy ra 1/4 + 1/3.3 + ... + 1/100.100 < 1/4 + 1/2.3 + ... + 1/99.100
Suy ra 1/4 + 1/3^2 + ... + 1/100^2 < 1/4 + ( 1/2 - 1/3 ) + ... + ( 1/99 - 1/100 )
Hay D < 1/4 + ( 1/2 - 1/100 ) + { ( 1/3 + ... +1/99 ) - (1/3 + ... + 1/99 ) }
Suy ra D < 1/4 + 1/2 -1/100 + 0
Suy ra D < 3/4 - 1/100
Do đó D < 3/4
NH
0
NT
15 tháng 2 2017
Mình nghĩ gần 30 phút mới ra bài này ó; công nhận khó thật!!!
\(C=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+....+\frac{1}{\left(2n\right)^2}\\ =\frac{1}{2^2}\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\\ < \frac{1}{4}\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\right)\\ =\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{4}\left(\text{đ}pcm\right)\)
\(D=\frac{2!}{3!}+\frac{2!}{4!}+....+\frac{2!}{n!}\\ =2!\left(\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+....+\frac{1}{n!}\right)\\ < 2\left(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+....+\frac{1}{\left(n-2\right)\left(n-1\right)n}\right)=2\left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{\left(n-1\right)n}\right)\right)\\ =1\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\left(n-1\right)n}\right)< 1\left(\text{đ}pcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!!!
LV
29 tháng 3 2016
a)\(M=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2016^2}<1\)
\(\Rightarrow2M=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2016}<1\)
\(2M-M=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2016}\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2016^2}\right)<1\)
\(\Rightarrow M=1-\frac{1}{2016^2}\)<1
=>(DPCM)
CÂU b và c làm tương tự
K
2
AK
30 tháng 4 2018
Ta có :
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};...;\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{2009.2010}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2009.2010}\)
\(\Rightarrow N< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)
\(\Rightarrow N< 1-\frac{1}{2010}\)
\(\Rightarrow N< 1\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!!
\(D=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...........+\frac{1}{n^2}\)nên ta có\(:\)
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1\cdot2}\)\(;\)\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2\cdot3}\)\(;\)\(......................\)\(;\)\(\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}\)
Cộng vế với vế nên ta có \(:\)\(D=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.........+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+........+\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}\)
\(D< 1-\frac{1}{n}< 1\)
Vậy \(D=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+.........+\frac{1}{n^2}< 1\)
1/2^2 +1/3^2 +1/4^2 +...+1/n^2 < 1 [1]
_Đặt S(n)=1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 +...+1/n^2
với n=2=>s(n)=1/4<1 (đúng)
_giả sử [1] đúng với n=k>=2 ,tức là
S(k)=1/2^2 +1/3^2 +1/4^2 +...+1/k^2 <1
_ta cần chứng minh [1] đúng với n=k+1, tức là
S(k+1)=1/2^2 +1/3^2 +1/4^2 +...+1/k^2+ 1/(k+1)^2 <1
Thật vậy S(k+1)=S(k) +1/(k+1)^2
mà S(k)<1 với mọi k và (k+1)^2 >=9 (vì k>=2)
khi đó 1/(k+1)^2 < 1
vậy S(k+1) < 1 với mọi k>=2 hay [1] thỏa mãn