Question

[Nguyễn Trang Tiểu thư]

CMR :Bình phương của 1 số nguyên tớ khác 2 và 3 chia cho 12 dư 1 

Answer 1

[Lê Chí Cường]

Gọi số nguyên tố khác 2 và 3 là n.

Ta có: n²-1=(n-1).(n+1)

Vì n là số nguyên tố khác 2 và 3

=>n>2=>n có dạng 2k+1

=>n²-1=(n-1).(n+1)=(2k+1-1).(2k+1+1)

=2k.(2k+2)=2k.2.(k+1)=4.k.(k+1) chia hết cho 4

=>n²-1 chia hết cho 4(1)

Vì n là số nguyên tố khác 2 và 3

=>n>3=>n có dạng 3k+1 hoặc 3k+2

*Xét n=3k+1=>n-1=3k+1-1=3k chia hết cho 3

=>(n-1).(n+1) chia hết cho 3=>n²-1 chia hết cho 3

*Xét n=3k+2=>n+1=3k+2+1=3k+3=3.(k+1) chia hết cho 3

=>(n-1).(n+1) chia hết cho 3=>n²-1 chia hết cho 3

         =>n²-1 chia hết cho 3(2)

Từ (1) và (2)

=>n²-1 chia hết cho 4 và 3

mà (4,3)=1

=>n²-1 chia hết cho 4.3

=>n²-1 chia hết cho 12

=>n² chia 12 dư 1

=>ĐPCM