\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

27 tháng 3 2017

Có thể giả thiết \(a\ge b\ge c\). Khi đó : \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b+c}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{c+a}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b+a-c}{b+c}+\dfrac{b-c+b-a}{c+a}+\dfrac{c-a+c-b}{a+b}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{c+a}\right)+\left(b-c\right)\left(\dfrac{1}{c+a}-\dfrac{1}{a+b}\right)+\left(c-a\right)\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)\ge0\)

BĐT thức sau cùng đúng với giả thiết ban đầu .

27 tháng 3 2017

Ta có bài toán phụ: (a+b+c)(\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\))>=9

Từ đó suy ra: (a+b+b+c+c+a)(\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\))>=9

=>(2a+2b+2c)(\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\))>=9

=>\(\left(\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{2b}{a+b}+\dfrac{2c}{a+b}\right)+\left(\dfrac{2b}{b+c}+\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2c}{b+c}\right)\)+\(\left(\dfrac{2a}{c+a}+\dfrac{2b}{c+a}+\dfrac{2c}{c+a}\right)\)>=9

=>\(\dfrac{2.\left(a+b\right)}{a+b}+\dfrac{2c}{a+b}+\dfrac{2\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2\left(c+a\right)}{c+a}+\dfrac{2b}{c+a}\)>=9

=>\(\dfrac{2c}{a+b}+\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}\)+2+2+2>=9

=>\(\dfrac{2c}{a+b}+\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}\)>=3

=>2\(\left(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\right)\)>=3

=>\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)>=\(\dfrac{3}{2}\)

=>đpcm

12 tháng 5 2018

A = \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

A = \(\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel vào bài toán , ta có :
\(\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b\right)}\)\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\) ( * )

Ta lại có BĐT : x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx

⇒ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac

⇔ ( a + b + c)2 ≥ 3( ab + bc + ac)

\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}\) ≥ 3 ( **)

Từ ( *;**) ⇒ \(\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b\right)}\)\(\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)\(\dfrac{3}{2}\)

12 tháng 5 2018

Đời về cơ bản là buồn... cười!!!Phùng Khánh LinhHong Ra Onchú tuổi gìNguyễn Ngô Minh TríNhã Doanh, và nhiều bạn khác...

11 tháng 5 2017

Do a,b,c dương

Để làm bài này bạn cần chứng minh BĐT sau\(\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{m+n}\)(m;n>0)

<=>(m+n)(nx2+my2)-mn(x+y)2\(\ge\)0

Mình làm tắt,rút gọn luôn

<=>n2x2-2mnxy+m2y2\(\ge\)0

<=>(nx-my)2\(\ge\)0

=>BĐT trên được chứng minh và dấu bằng xảy ra khi nx=my

Mở rộng cho 3 số \(\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}+\dfrac{z^2}{p}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\)

Áp dụng BĐT trên ta được:

\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c

11 tháng 5 2017

bạn có thể gọi BĐT trên là BĐT Svac-xơ (hệ quả đc suy ra từ BĐT Bu-nhi-a)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 11 2018

Bài 1:

Vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên \(b+c-a; c+a-b; a+b-c>0\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:

\(\frac{a^2}{b+c-a}+(b+c-a)\geq 2\sqrt{a^2}=2a\)

\(\frac{b^2}{a+c-b}+(a+c-b)\geq 2\sqrt{b^2}=2b\)

\(\frac{c^2}{a+b-c}+(a+b-c)\geq 2\sqrt{c^2}=2c\)

Cộng theo vế và rút gọn:

\(\Rightarrow \frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}+a+b+c\geq 2(a+b+c)\)

\(\Rightarrow \frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\geq a+b+c\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 11 2018

Bài 2:

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:

\(ab+\frac{a}{b}\geq 2\sqrt{ab.\frac{a}{b}}=2a\)

\(ab+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{ab.\frac{b}{a}}=2b\)

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)

Cộng theo vế và rút gọn:

\(\Rightarrow 2(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a})\geq 2(a+b+1)\)

\(\Rightarrow ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq a+b+1\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

9 tháng 4 2017

dạng này chắc chắc là phải dùng AM-GM ngược dấu rồi :)

Ta có:

\(\dfrac{1+b}{1+4a^2}=1+b-\dfrac{4a^2\left(b+1\right)}{4a^2+1}\ge1+b-\dfrac{4a^2\left(b+1\right)}{4a}=1+b-a\left(b+1\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:

\(\dfrac{1+c}{1+4b^2}\ge1+c-b\left(c+1\right);\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge1+a-c\left(a+1\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT=\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+c^2}\)

\(\ge3+\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)-\left(a+b+c\right)\)

\(=3-\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{4}=VP\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

9 tháng 4 2017

\(VT=\left(\dfrac{a}{1+4c^2}+\dfrac{b}{1+4a^2}+\dfrac{c}{1+4b^2}\right)+\left(\dfrac{1}{1+4c^2}+\dfrac{1}{1+4a^2}+\dfrac{1}{1+4b^2}\right)\)

\(VT=\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)+3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\)

Xét \(\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2a}{4c}=ca\\\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2b}{4a}=ab\\\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2c}{4b}=bc\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)\) (1)

Xét \(3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2}{4c}=c\\\dfrac{4a^2}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2}{4a}=a\\\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2}{4b}=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow VT\ge3-\left(ab+bc+ca\right)\) (3)

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{4}\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow3-\dfrac{3}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{9}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)\) (4)

Từ (3) và (4)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge\dfrac{9}{4}\) (đpcm)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

2 tháng 3 2018

\(\dfrac{a}{a+b}\le\dfrac{a}{2b}\). So you are wrong

1 tháng 3 2018

Ta có: \(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\ge\dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2c}+\dfrac{c}{2a}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)

\(\ge\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{3}{2}\) ( BĐT AM - GM )

Dấu " = " khi a = b = c

\(\Rightarrowđpcm\)

8 tháng 4 2018

tham khảo tại đây-_-

Câu hỏi của Nguyễn Thị Bình Yên - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

18 tháng 3 2017

Tham khảo ở đây có đủ các cách cho bạn chọn lựa

Từ "Siêu tốc thần sầu" đến "tập thể dục" tha hồ luyện

!!!

https://hoc24.vn/hoi-dap/question/196314.html

18 tháng 3 2017

For \(a\geq b\geq c>0\) we obtain:

\(\sum_{cyc}\frac{a}{a+b}-\frac{3}{2}=\sum_{cyc}\left(\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}\right)=\sum_{cyc}\frac{a-b}{2(a+b)}\)

\(=\sum_{cyc}\frac{(a-b)(c^2+ab+ac+bc)}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}=\sum_{cyc}\frac{c^2a-c^2b}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}\)

\(=\sum_{cyc}\frac{a^2b-a^2c}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}=\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{2\prod\limits_{cyc}(a+b)}\geq0\)

10 tháng 4 2017

5. phân tích ra : \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)

áp dụng bđ cosy

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)

=> đpcm

6. \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)

hay với mọi x thuộc R đều là nghiệm của bpt

7.áp dụng bđt cosy

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^2.b^2.c^2.d^2}=4abcd\left(đpcm\right)\)

10 tháng 4 2017

1. (a-b)2>=0

=> a2+b2-2ab>=0

2. (a-b)2>=0

=> a2+b2>=2ab

=> \(\dfrac{a^2 +b^2}{2}\ge ab\)

3.Ta phích ra thôi,ta được : a2+2a < a2+2a+1

=> cauis trên đúng