GC
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
20 tháng 11 2017
Sửa đề: Cho \(a;b;c>0\). \(CMR:\)
\(\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ca+b^2}+\frac{c+a}{ab+c^2}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
KH
2
11 tháng 7 2018
Ta có vế trái = (a2+b2+c2−ab−ac−bca2+b2+c2−ab−ac−bc)
(a+b+c)
= \(a^3+ab^2+ac^2-a^2b-a^2c-abc+a^2b+b^3+bc^2-ab^2-abc-b^2c+a^2c+b^2c+c^3-abc-ac^2-bc^2\) =\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
=> (a2+b2+c2−ab−ac−bca2+b2+c2−ab−ac−bc)(a+b+c)=a3+b3+c3−3abc (đpcm )
Vậy (a2+b2+c2−ab−ac−bca2+b2+c2−ab−ac−bc)(a+b+c)=a3+b3+c3−3abc
11 tháng 7 2018
Bài này bạn biến đổi VP sẽ hay hơn .
\(VP=a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=VT\) Vậy , đăng thức được chứng minh .
3 tháng 5 2020
Đặt \(A=\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{\left(b+c\right)^2}{bc}+\frac{\left(c+a\right)^2}{ca}=\frac{a^2+2ab+b^2}{ab}+\frac{b^2+2bc+c^2}{bc}+\frac{c^2+2ac+c^2}{ca}\)
\(=\frac{a}{b}+2+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+2+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+2+\frac{a}{c}=6+a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+c\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\ge6+\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}\ge6+2\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+b}\right)+2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
\(\ge6+2\cdot\frac{3}{2}+2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)=9+2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
SG
2
CC
17 tháng 12 2019
\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)(1)
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(a-c\right)^2\ge0\end{cases}}\forall a,b,c\)\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\left(\forall a,b,c\right)\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)
Vậy \(a=b=c\)
17 tháng 12 2019
\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\)
9 tháng 10 2017
Câu 1:
\(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3-2\left(a+b+c\right)=0\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2a-2b-2c+3=0\\ \Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\\ Do\text{ }\left(a-1\right)^2\ge0\forall x\\\left(b-1\right)^2\ge0\forall x\\ \left(c-1\right)^2\ge0\forall x\\ \Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\forall x\)
\(\text{Dấu }"="\text{ xảy ra khi : }\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\\\left(c-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(a=b=c=1\text{ }khi\text{ }\left(a+b+c\right)^2=2\left(a+b+c\right)\)
MH
9 tháng 10 2017
Ta có : \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+ac+bc\right)\)
<=> \(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3ab-3ac-3bc=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\forall x\in R\)
Dấu '' = '' xảy ra <=> a = b = c = 0
Vậy....
TT
2
20 tháng 12 2016
\(\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ba}{c^2}=1\)
\(\frac{b^3c^3}{a^2b^2c^2}+\frac{a^3c^3}{a^2b^2c^2}+\frac{b^3c^3}{a^2b^2c^2}=1\)
\(\frac{b^3c^3+a^3c^3+b^3a^3}{a^2b^2c^2}=1\)
20 tháng 12 2016
\(\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc}{a^2b^2c^2}=1\)
từ đây rút gọn abc với abc rồi tính tiếp.
cần gì cứ hỏi nha!
6 tháng 12 2017
Vào địa chỉ này:
https://olm.vn/hoi-dap/question/1100452.html
Câu hỏi người ta đã hỏi rồi!
Bạn chú ý tìm câu hỏi trước khi đặt câu hỏi