K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
MC
3
T
29 tháng 12 2019
Cách khác:
Xét hiệu:\(a^4+b^4+c^4-abc\left(a+b+c\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left[\left(a^2+c^2-2b^2\right)^2+\left(ab+bc-2ca\right)^2\right]+\frac{3}{4}\left(a-c\right)^2\left[\left(a+c\right)^2+b^2\right]\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
P/s: Bài đơn giản, làm 3 dòng:DDD (vắn tắt tuyệt đối)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 12 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^4+b^4+c^4)(1+1+1)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\)
\((a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2\)
\(\Rightarrow 3(a^4+b^4+c^4)\geq (a^2+b^2+c^2).\frac{(a+b+c)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{9}.(a+b+c)(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}=9abc(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)$
hay $\frac{a^4+b^4+c^4}{abc}\geq a+b+c$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
NV
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 4 2018
Lời giải:
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(=27-3(3-a)(3-b)(3-c)\)
\(=27-3[27-9(a+b+c)+3(ab+bc+ac)-abc]\)
\(=27-3[3(ab+bc+ac)-abc]=27-9(ab+bc+ac)+3abc\)
Do đó:
\(A=a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc=27-9(ab+bc+ac)+\frac{27}{4}abc(*)\)
Áp dụng BĐT Schur :
\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq (3-2a)(3-2b)(3-2c)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq 27-18(a+b+c)+12(ab+bc+ac)-8abc\)
\(\Leftrightarrow 9abc\geq 12(ab+bc+ac)-27\)
\(\Leftrightarrow 3abc\geq 4(ab+bc+ac)-9\)
\(\Rightarrow \frac{27}{4}abc\geq 9(ab+bc+ac)-\frac{81}{4}(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow A\geq 27-\frac{81}{4}=\frac{27}{4}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
17 tháng 8 2018
do abc=1 nên đặt a=x/y;b=y/z;c=z/x
\(P=\sum\sqrt[4]{\dfrac{a+b}{c+1}}=\sum\sqrt[4]{\dfrac{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}}{\dfrac{z}{x}+1}}=\sum\sqrt[4]{\dfrac{x\left(xz+y^2\right)}{yz\left(x+z\right)}}\)
ta có\(\dfrac{x\left(x+z\right)\left(xz+y^2\right)}{yz\left(x+z\right)^2}=\dfrac{x\left(x\left(z^2+y^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)\right)}{yz\left(x+z\right)^2}\)
\(\ge\dfrac{x\sqrt{xz}\left(x+y\right)\left(z+y\right)}{yz\left(x+z\right)^2}\)(cô si 2 số)
P>=\(\sum\sqrt[4]{\dfrac{x\sqrt{xz}\left(x+y\right)\left(z+y\right)}{\left(x+z\right)^2yz}}\)>=3(cô si 3 số)
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 12 2018
Lời giải:
Theo BĐT Schur bậc 3:
\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(3-2a)(3-2b)(3-2c)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq 27+12(ab+bc+ac)-18(a+b+c)-8abc=-27+12(ab+bc+ac)-8abc\)
\(\Rightarrow 9abc\geq 12(ab+bc+ac)-27\Rightarrow abc\geq \frac{4}{3}(ab+bc+ac)-3\)
Do đó:
\(a^2+b^2+c^2+abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{4}{3}(ab+bc+ac)-3\)
\(=(a+b+c)^2-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)-3=6-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)\)
Mặt khác theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\geq 6-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)\geq 6-\frac{2}{3}.3=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 12 2018
Nếu bạn không được sử dụng thẳng BĐT Schur bậc 3 thì có thể CM nó thông qua BĐT AM-GM ngược dấu.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 2 2020
Sử dụng bổ đề: \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Cách chứng minh bổ đề kia bằng Dirichlet google rất nhiều.
Ta có: \(2a^2+2b^2+2c^2+2abc=8\)
\(\Leftrightarrow9=a^2+b^2+c^2+\left(a^2+b^2+c^2+2abc+1\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow9\ge\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow a+b+c\le3\)
\(\Rightarrow3\left(a+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge ab+bc+ca=\frac{1}{2}\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+a\left(b+c\right)\right]\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{1}{2}\left[a.2\sqrt{bc}+b.2\sqrt{ac}+c.2\sqrt{ab}\right]\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
KM
1
VN
10 tháng 4 2017
bài giải: Vì a, b, c >o và a4 = c4+b4 suy ra a>c và a>b hay góc A lớn nhất
ta có cosA= (b2+c2-a2)/2bc nên ta cần chứng minh góc A<90đ tương đương cosA >0
> cm b2+ c2- a2> 0. thật vậy: do b2+c2>a2
>b4+c4+2b2c2>a4
>2b2c2>0 ( luôn đúng vs mọi a,b)
> ddpcminh.
TP
26 tháng 9 2018
chữ " b" mk ghi ở phần b) trước "CMR " là gõ nhầm đấy, ko liên quan j đến bài toán đâu !!
a^4 + b^4 >= 2a^2b^2
b^4 + c^4 >= 2b^2c^2
a^4 + c^4 >= 2a^2c^2
--------------------------------------...
Cộng vế theo vế ta có:
=> 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 >= 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2)
<=> a^4 + b^4 + c^4 >= a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 (1)
Áp dụng Cauchy lần nữa ta có:
a^2b^2 + b^2c^2 = b^2 (a^2 +c^2) >= b^2(2ac)
b^2c^2 + a^2c^2 = c^2 (b^2 + a^2) >= c^2(2ba)
a^2b^2 + a^2c^2 = a^2 (b^2 + c^2) >= a^2(2bc)
--------------------------------------...
Cộng vế theo vế ta có
=> 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) >= 2[b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)]
<=> a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 >= b^2(ac) + c^2(ba) + a^2(bc)
<=> ......................................>= abc ( b + c + a) (2)
từ (1) và (2) ta có điều fài chứng minh.
Ta có : a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2>=abc(a+b+c)
<=> 2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2>=2abc(a+b+c)
<=> 2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^ -2abc(a+b+c)>=0
<=>(a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2)+(b^2c^2-2abc^2+a^2c^2)+(a^2c^2-2a^bc+a^2b^2)>=0
<=>(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2>=0 là đúng
Ta có a^4+b^4+c^4>=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2
Theo t/c bắc cầu
=>a^4+b^4+c^4>=abc(a+b+c)