Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow\text{Đ}PCM\)
2b)
Ta có: \(x^2+y^2-4x-2y+5=0\Leftrightarrow x^2+y^2-4x-2y+4+1=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-2\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}}\)
c) \(x^4-11x^2+4x-21=0\Leftrightarrow x^4-10x^2+25-x^2+4x-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-5\right)^2-\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow\left(x^2-x-5+2\right)\left(x^2+x-5-2\right)=0\)
đến đây tự làm
Bài làm
a) Ta có: ( a - b + c )2 = [ a - ( b - c ) ]2
= a2 - 2a( b - c ) + ( b - c )2
= a2 - 2ab + 2ac + b2 - 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ac - 2ab - 2bc
Mik làm mấy lần rồi nhưng vẫn ra kết quả như vậy, bạn xem lại đề nhé.
b) Ta có: a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca
=> 2( a2 + b2 + c2 ) > 2( ab + bc + ca )
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 > 2ab + 2bc + 2ca
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca > 0
=> ( a2 + b2 + c2 ) + ( a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ca ) > 0
=> ( a2 + b2 + c2 ) + ( a - b - c )2 > 0 ( Luôn đúng )
Vậy a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca ( đpcm ).
c) a2 + b2 + 1 > a + b + ab ( mik nghĩ cái a ở vế phải phải là a thôi chứ không phỉa a^2. bạn kiểm tra đề nha )
=> 2a2 + 2b2 + 2 > 2a + 2b + 2ab
=> 2a2 + 2b2 + 2 - 2a - 2b - 2ab > 0
=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2a + 1 ) + ( b2 - 2b + 1 ) > 0
=> ( a - b )2 + ( a - 1 )2 + ( b - 1 )2 > 0 ( luôn đúng )
Vậy a2 + b2 + 1 > a + b + ab ( đpcm )
\(1,\left(a-b+c\right)^2=\left[\left(a-b\right)+c\right]^2\)
\(=\left(a-b\right)^2+2\left(a-b\right)c+c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\)
\(2,..2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
3, Sửa đề : \(a^2+b^2+1\ge a+b+ab\)
Ta có : \(2a^2+2b^2+2-2a-2b-2ab\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2\ge2a+2b+2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1\ge a+b+ab\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1
\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ca+c^2\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)
HĐT này đúng với mọi x
\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}=\dfrac{b^2c+a^2c}{ab}=\dfrac{c\left(a^2+b^2\right)}{ab}\ge\dfrac{c.2ab}{ab}=2c\)
\(\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}=\dfrac{ac^2+ab^2}{bc}=\dfrac{a\left(b^2+c^2\right)}{bc}\ge\dfrac{a.2bc}{bc}=2a\)
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}=\dfrac{a^2b+c^2b}{ac}=\dfrac{b\left(a^2+b^2\right)}{ac}\ge\dfrac{b.2ac}{ac}=2b\)
Cộng vế theo vế:
\(2\left(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\)
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{abc^2}{ab}}=2\sqrt{c^2}=2\left|c\right|=2c\left(c>0\right)\)
Chứng minh tương tự ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge2a\\\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ab}{c}\ge2b\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế: \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
Áp dụng liên tiếp AM-GM và Cauchy-Schwarz ta được:
\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{ab+b^2-b^2}{a+b}=\dfrac{b\left(a+b\right)}{a+b}-\dfrac{b^2}{a+b}=b-\dfrac{b^2}{a+b}\)
Chứng minh tương tự:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{bc+c^2-c^2}{b+c}=\dfrac{c\left(b+c\right)}{b+c}-\dfrac{c^2}{b+c}=c-\dfrac{c^2}{b+c}\\\dfrac{ac}{c+a}=\dfrac{ac+a^2-a^2}{c+a}=\dfrac{a\left(c+a\right)}{c+a}-\dfrac{a^2}{c+a}=a-\dfrac{a^2}{c+a}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế:
\(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ac}{a+c}=a+b+c-\left(\dfrac{b^2}{a+b}+\dfrac{c^2}{b+c}+\dfrac{a^2}{a+c}\right)\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
b)Đặt \(A=\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\)
\(A=\dfrac{a\left(a+b\right)-a^2}{a+b}+\dfrac{b\left(b+c\right)-b^2}{a+b}+\dfrac{c\left(c+a\right)-c^2}{c+a}\)
\(A=a+b+c-\dfrac{a^2}{a+b}-\dfrac{b^2}{b+c}-\dfrac{c^2}{c+a}\)
Lại có:\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow A\le a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho 2 số dương ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\\\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\\\dfrac{a+c}{2}\ge\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo 3 vế ta có:
\(\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{a+c}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}c+\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\left(đpcm\right)\)
\(a=b=c\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\a=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(a-c\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=2ab\\b^2+c^2=2bc\\a^2+c^2=2ac\end{matrix}\right.\)
Cộng theo 3 vế ta có:
\(a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2=2ab+2bc+2ac\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
Ngược lại,khi \(a\ne b\ne c\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2>2ab\\b^2+c^2>2bc\\a^2+c^2>2ac\end{matrix}\right.\) ta có thể dễ dàng cm được \(a^2+b^2+c^2>ab+bc+ac\)
1, Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta được
\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}}=2b\)
\(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ac}{b}.\frac{ab}{c}}=2a\)
\(\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ac}{b}.\frac{bc}{a}}=2c\)
Cộng từng vế vào ta được
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Dấu "=" khi a = b = c
2,Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên a,b,c > 0
Ta có các bđt quen thuộc sau : \(\frac{m}{n}>\frac{m}{m+n}\)và \(\frac{m}{n}< \frac{m+m}{m+n}\)
\(\Rightarrow\frac{m}{m+n}< \frac{m}{n}< \frac{m+m}{m+n}\). Áp dụng bđt này ta được
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{a+b+c}< \frac{b+b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{a+b+c}\)
Cộng 3 bđt trên lại ta được đpcm
giả sử \(a^2+b^2+c^2\le ab+ac+bc\)
suy ra \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le2\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2\le2ab+\\ 2ac+2bc\) (1)
ta có \(\left(a+b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge0\\ \Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\) (2)
tương tự ta cũng có\(a^2+c^2\ge2ac\\ b^2+c^2\ge2bc\) (3)
từ (2) và (3) suy ra hệ thức (1) vô lí
suy ra \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\) với mọi a;b;c
bạn làm rất rắc rồi tưởng đúng nhưng sai nhé