NC
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NC
1
12 tháng 2 2017
Ta có: a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab+bc+ca)
Do (a+b+c)^2 >= 0 nên (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)>= -2(ab+bc+ca)
Vậy a^2 + b^2 + c^2 >= -2(ab+bc+ca)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 4 2022
Bunhiacopxki:
\(\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab}{a^2+bc+ca}\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Tương tự: \(\dfrac{bc}{b^2+ca+ab}\le\dfrac{bc\left(c^2+ca+ab\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(\dfrac{ca}{c^2+ab+bc}\le\dfrac{ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\le\dfrac{a^2+c^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
\(\Leftrightarrow ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Nhân phá và rút gọn 2 vế:
\(\Leftrightarrow a^3b+b^3c+c^3a\ge abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3b+b^3c+c^3a}{abc}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge a+b+c\)
Đúng do: \(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
4 tháng 8 2020
Bài làm
a) Ta có: ( a - b + c )2 = [ a - ( b - c ) ]2
= a2 - 2a( b - c ) + ( b - c )2
= a2 - 2ab + 2ac + b2 - 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ac - 2ab - 2bc
Mik làm mấy lần rồi nhưng vẫn ra kết quả như vậy, bạn xem lại đề nhé.
b) Ta có: a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca
=> 2( a2 + b2 + c2 ) > 2( ab + bc + ca )
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 > 2ab + 2bc + 2ca
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca > 0
=> ( a2 + b2 + c2 ) + ( a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ca ) > 0
=> ( a2 + b2 + c2 ) + ( a - b - c )2 > 0 ( Luôn đúng )
Vậy a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca ( đpcm ).
c) a2 + b2 + 1 > a + b + ab ( mik nghĩ cái a ở vế phải phải là a thôi chứ không phỉa a^2. bạn kiểm tra đề nha )
=> 2a2 + 2b2 + 2 > 2a + 2b + 2ab
=> 2a2 + 2b2 + 2 - 2a - 2b - 2ab > 0
=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2a + 1 ) + ( b2 - 2b + 1 ) > 0
=> ( a - b )2 + ( a - 1 )2 + ( b - 1 )2 > 0 ( luôn đúng )
Vậy a2 + b2 + 1 > a + b + ab ( đpcm )
4 tháng 8 2020
\(1,\left(a-b+c\right)^2=\left[\left(a-b\right)+c\right]^2\)
\(=\left(a-b\right)^2+2\left(a-b\right)c+c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\)
\(2,..2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
3, Sửa đề : \(a^2+b^2+1\ge a+b+ab\)
Ta có : \(2a^2+2b^2+2-2a-2b-2ab\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2\ge2a+2b+2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1\ge a+b+ab\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1
MH
1
28 tháng 2 2016
\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ca+c^2\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)
HĐT này đúng với mọi x
NT
0
19 tháng 5 2020
a) Ta có: \(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}-\frac{c^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}-\frac{a^2}{c+a}\) \(=a-b+b-c+c-a=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\right)=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{c+a}\)\(\ge\frac{2ab}{a+b}+\frac{2bc}{b+c}+\frac{2ca}{c+a}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)
b) \(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\frac{1}{2}\cdot ab\cdot2ab\cdot\left(a^2+b^2\right)\le\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\cdot\frac{\left(2ab+a^2+b^2\right)^2}{4}=2\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=1\)
5 tháng 3 2018
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{abc^2}{ab}}=2\sqrt{c^2}=2\left|c\right|=2c\left(c>0\right)\)
Chứng minh tương tự ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge2a\\\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ab}{c}\ge2b\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế: \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
Áp dụng liên tiếp AM-GM và Cauchy-Schwarz ta được:
\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{ab+b^2-b^2}{a+b}=\dfrac{b\left(a+b\right)}{a+b}-\dfrac{b^2}{a+b}=b-\dfrac{b^2}{a+b}\)
Chứng minh tương tự:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{bc+c^2-c^2}{b+c}=\dfrac{c\left(b+c\right)}{b+c}-\dfrac{c^2}{b+c}=c-\dfrac{c^2}{b+c}\\\dfrac{ac}{c+a}=\dfrac{ac+a^2-a^2}{c+a}=\dfrac{a\left(c+a\right)}{c+a}-\dfrac{a^2}{c+a}=a-\dfrac{a^2}{c+a}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế:
\(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ac}{a+c}=a+b+c-\left(\dfrac{b^2}{a+b}+\dfrac{c^2}{b+c}+\dfrac{a^2}{a+c}\right)\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
5 tháng 3 2018
b)Đặt \(A=\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\)
\(A=\dfrac{a\left(a+b\right)-a^2}{a+b}+\dfrac{b\left(b+c\right)-b^2}{a+b}+\dfrac{c\left(c+a\right)-c^2}{c+a}\)
\(A=a+b+c-\dfrac{a^2}{a+b}-\dfrac{b^2}{b+c}-\dfrac{c^2}{c+a}\)
Lại có:\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow A\le a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)