NT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
S
20 tháng 10 2020
\(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow-1\le a,b,c\le1;a^3-a^2+b^3-b^2+c^3-c^2\)
\(=a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)+c^2\left(c-1\right)=0\Rightarrow a^2\left(a-1\right)=0;b^2\left(b-1\right)=0;c^2\left(c-1\right)=0\)
\(\text{kết hợp với:}a^3+b^3+c^3=1\Rightarrow\text{có 2 số bằng 0; 1 số bằng 1}\Rightarrow S=1\)
27 tháng 2 2020
Ta có:
\(\left(a^2+b^2\right)^2=a^4+b^4+2a^2b^2\)=> \(a^2b^2=\frac{1}{4}\)
\(a^2+b^2=\frac{1}{2^0}\)
\(a^4+b^4=\frac{1}{2^1}\)
\(a^6+b^6=\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\frac{1}{2}.1-\frac{1}{4}.1=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}\)
\(a^8+b^8=\left(a^6+b^6\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2b^2\left(a^4+b^4\right)=\frac{1}{4}.1-\frac{1}{4}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}\)
...
Như vậy chúng ta sẽ đoán được: \(a^{2n+2}+b^{2n+2}=\frac{1}{2^n}\)(1) với n là số tự nhiên.
Chúng ta chứng minh (1) quy nạp theo n.
+) Với n = 0; có: \(a^2+b^2=\frac{1}{2^0}=1\)đúng
=> (1) đúng với n = 1
+) Giả sử (1) đúng cho tới n
khi đó: \(a^{2n+2}+b^{2n+2}=\frac{1}{2^n}\)
+) Ta chứng minh (1) đúng với n + 1
Ta có: \(a^{2\left(n+1\right)+2}+b^{2\left(n+1\right)+2}=a^{2n+4}+b^{2n+4}\)
\(=\left(a^{2n+2}+b^{2n+2}\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2b^2\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\)
\(=\frac{1}{2^n}.1-\frac{1}{4}.\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}\)
=> (1) đúng với n + 1
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n.
Do đó:
\(P=a^{2020}+b^{2020}=a^{2.1009+2}+b^{2.1009+2}=\frac{1}{2^{1009}}\)
4 tháng 2 2017
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=6\left(1\right)\\a^2+b^2+c^2=12\left(2\right)\end{cases}}\)
(1) bình phuong trừ (2)=>ab+bc+ac=12
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)đẳng thức chỉ xẩy ra khi a=b=c
Từ (1)=> a=b=c=2
=> P=3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2020
Do \(\left|a\right|;\left|b\right|;\left|c\right|\le1\Rightarrow a^{2018}+b^{2020}+c^{2022}\le a^2+b^2+c^2\)
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x-1;y-1;z-1\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}0\le x;y;z\le2\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\)
Ta cần chứng minh: \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2\left(x+y+z\right)+3\le2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le5\)
Thật vậy, do \(0\le x;y;z\le2\)
\(\Rightarrow\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow8-4\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)-xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+zx\right)\ge xyz+4\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le5\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;2\right)\) và hoán vị
Hay \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;0;1\right)\) và hoán vị
12 tháng 11 2019
Ta làm bài tổng quát như sau:
Cho \(u_n=\left(2+\sqrt{3}\right)^n+\left(2-\sqrt{3}\right)^n\) chứng minh \(u_n\)là số tự nhiên chẵn với mọi n là số nguyên dương. (1)
Đặt \(\hept{\begin{cases}2+\sqrt{3}=x\\2-\sqrt{3}=y\end{cases}}\)
\(\Rightarrow u_n=x^n+y^n\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\xy=1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}u_1=4\\u_2=14\end{cases}}\)
Xét \(n=1;2\) thì (1) đúng.
Giả sử (1) đúng đến \(n=k\) .
Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)
Ta có:
\(\Rightarrow u_{k+1}=x^{k+1}+y^{k+1}=\left(x+y\right)\left(x^k+y^k\right)-xy\left(x^{k-1}+y^{k-1}\right)=4u_k-u_{k-1}\) là số nguyên dương chẵn.
Vậy theo quy nạp ta có (1) đúng.
Áp dụng vào bài toán ta có điều phải chứng minh.