Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài 1: Gọi 2 số chính phương liên tiếp là a\(^2\) và (a+1)\(^2\)( vs a\(\in\) N )
CM :S=a\(^2\) +(a+1)\(^2\)+a\(^2\).(a+1)\(^2\) là số chính phương
Thật vậy : S= a\(^2\) +(a+1)\(^2\)+a\(^2\).(a+2a+1)
= a\(^2\)+a\(^2\)+2a+1+a\(^4\)+2a\(^3\)+a\(^2\)
= (a\(^2\))\(^2\)+a\(^2\)+1\(^2\)+2.a\(^2\).a+a+2a\(^2\).1+2a.1
= (a\(^2\)+a+1)\(^2\) là số chính phương (đpcm)
Ta có:
\(a^2+1=a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
Tương tự suy ra biểu thức đã cho bằng \(\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\) và là số chính phương
a^2 + b^2 + c^2= ab + bc + ca
2 ( a^2 + b^2 + c^2 ) = 2 ( ab + bc + ca)
2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2bc + 2ca
a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + c^2+ c^2 – 2ab – 2bc – 2ca = 0
a^2 + b^2 – 2ab + b^2 + c^2 – 2bc + c² + a² – 2ca = 0
(a^2 + b^2 – 2ab) + (b^2 + c^2 – 2bc) + (c^2 + a^2 – 2ca) = 0
(a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 0
Vì (a-b)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi a và b
(b-c)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi c và b
(c-a)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi a và c
=> (a-b)^2 =0 ; (b-c)^2=0 ; (c-a)^2=0
=> a=b ; b=c ; c=a
=>a=b=c
\(n^3+100=n^2.\left(n+10\right)-10n^2+100\)
\(=n^2.\left(n+10\right)-10n.\left(n+10\right)+100n+100\)
\(=n^2.\left(n+10\right)-10n.\left(n+10\right)+100.\left(n+10\right)-900\)
\(=\left(n+10\right).\left(n^2-10n+100\right)-900\)
Để n3+100 chia hết cho n+10 => -900 chia hết cho n+10 => n+10 thuộc Ư(900)
Vì n lớn nhất => n+10 lớn nhất => n+10=900 => n=890
Vậy n=890
Xét a là một số tự nhiên bất kỳ. Dễ thấy, nếu a chia hết cho 3 => a3 chia hết cho 9 (1)
Xét: \(a\equiv1\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv1\left(mod9\right)\)(2)
\(a\equiv2\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv8\left(mod9\right)\)(3)
\(a\equiv4\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv64\equiv1\left(mod9\right)\)(4)
\(a\equiv5\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv125\equiv8\left(mod9\right)\)(5)
\(a\equiv7\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv343\equiv1\left(mod9\right)\)(6)
\(a\equiv8\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv512\equiv8\left(mod9\right)\)(7)
Từ (1),(2),(3),(4),(5),(6),(7) => lập phương của 1 số nguyên bất kỳ khi chia cho 9 có số dư là 0,1,8
Dễ thấy: để a3+b3+c3 chia hết cho 9 => 1 trong 3 số a,b,c hoặc cả 3 số a,b,c phải chia hết cho 3 =>
=> abc chia hết cho 3. Vậy a3+b3+c3 chia hết cho 9 thì abc chia hết cho 3