Question

[Louise Francoise]

CMR:

    3^{x + 1} + 3^{x + 2} + 3^{x + 3} + ... + 3^{x + 100}  chia hết cho 120 ( x c N )

Answer 1

[ST]

Đặt A = 3^x+1 + 3^x+2 +...+ 3^x+100

= (3^x+1 + 3^x+2 + 3^x+3 + 3^x+4) +...+ (3^x+97 + 3^x+98 + 3^x+99 + 3^x+100)

= 3^x(3 + 3² + 3³ + 3⁴) +...+ 3^x+96(3 + 3² + 3³ + 3⁴)

= 3^x.120 + ... + 3^x+96.120

= 120(3^x +...+ 3^x+96) chia hết cho 120

Answer 2

[Kurosaki Akatsu]

Đặt :

A = 3^{x + 1} + 3^{x + 2} + 3^{x + 3} + ..... + 3^{x + 100}

A = 3^x.3 + 3^x.3² + 3^x.3³ + ....... + 3^x.3¹⁰⁰

A = 3^x.(3 + 3² + 3³ + ....... + 3¹⁰⁰)

Đặt A' = 3 + 3² + 3³ + ....... + 3¹⁰⁰

Có : A' = 3 + 3² + 3³ + ....... + 3¹⁰⁰

A' = (3 + 3² + 3³ + 3⁴) + (3⁵ + 3⁶ + 3⁷ + 3⁸) + ....... + (3⁹⁷ + 3⁹⁸ + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰)

A' = 3.(1 + 3 + 9 + 27) + 3⁵.(1 + 3 + 9 + 27) + ....... + 3⁹⁷.(1 + 3 + 9 + 27)

A' = 3.40 + 3⁵.40 + ....... + 3⁹⁷.40

A' = 40.(3 + 3⁵ + ...... + 3⁹⁷)

=> A = 3^x.A'

Mà A' chia hết cho 40 , đồng thời 3^x chia hết cho 3

=> A chia hết cho 40.3 = 120