NN
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
I
1
22 tháng 8 2019
+) a2+b2+c2\(\ge\)3
Đặt a-1 =x , b-1 =y,c-1=z
\(\Rightarrow\)x,y,z \(\in\)[-1;1] và x+y+z=0
pttt: (x+1)2+(y+1)2+(z+1)2\(\ge\)3
\(\Leftrightarrow\)....\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2+2(x+y+z)+3\(\ge\)3
\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2+3\(\ge\)3
\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2\(\ge\)0 (luôn đúng với mọi x,y,z)
+)a2+b2+c2\(\le\)5
Ta có a,b,c\(\in\)[0;2]\(\Rightarrow\)2-a\(\ge\)0 , 2-b\(\ge\)0 , 2-c\(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)(2-a)(2-b)(2-c)\(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)2ab+2ac+2bc\(\ge\)4(a+b+c)+abc-8
\(\Leftrightarrow\)2(ab+bc+ac)\(\ge\)12 + abc -8=4+abc (vì a+b+c=3)
Mà 4+abc\(\ge\)4 (vì a,b,c\(\in\)[0;2])
\(\Leftrightarrow\)2(ab+bc+ac)\(\ge\)4
\(\Leftrightarrow\)(a+b+c)2\(\ge\)4 +a2+b2+c2
mà a+b+c=3
\(\Leftrightarrow\)a2+b2+c2\(\le\)33-4=5
Dấu '=' xảy ra khi (a,b,c)=(0,1,2)và hoán vị vòng quanh
Vậy bdt được cm
X
1
10 tháng 11 2019
Hướng dẫn:
\(a^3+b^3+c^3=\frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{b^3}{2}+\frac{b^3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{c^3}{2}+\frac{c^3}{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\)
\(\ge\frac{3a^2}{2}+\frac{3b^2}{2}+\frac{3c^2}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{2}\) (Cauchy cho 3 số không âm )
=> \(3\ge\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{2}\)
=> \(a^2+b^2+c^2\le3\).
Dấu "=" <=> a=b=c
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le a^2+b^2+c^2\le3\)
=> \(a+b+c\le3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c.
21 tháng 3 2019
Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0
6) Sai đề
Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)
7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)
\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
21 tháng 3 2019
1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)
\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2
LD
2
6 tháng 5 2018
từ giả thuyết suy ra : abc >0
có 2>a,c,b ->> (2-a)(2-b)(2-c)\(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)8+2(ab+ac+bc) -4(a+b+c)-abc \(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)8+2(ab+ac+bc)-4.3-abc \(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)2(ab+ac+bc) \(\ge\)4+abc \(\ge\)4 (1)
Cộng a2+b2+c2 vào (1)
2(ab+ac+bc)+a2+b2+c2\(\ge\)4+a2+b2+c2
(a+b+c)2-4\(\ge\)a2+b2+c2
thay a+b+c=3 vào
9-4\(\ge\)a2+b2+c2
5 \(\ge\)a2+b2+c2
a2+b2+c2 \(\le\)5
KB
16 tháng 3 2019
1 ) Đề bài > not \(\ge\)
Giả sử đpcm là đúng , khi đó , ta có :
\(x^2+y^2+8>xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+16>2xy+4x+4y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)+8>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8>0\left(1\right)\)
Do \(\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8\ge8>0\forall x;y\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => Điều giả sử là đúng => đpcm
2 ) ĐK : a ; b ; c không âm
Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) ( cái này bạn áp dụng BĐT Cô - si để c/m ) , ta có :
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{6.2}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)
3 ) Áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số không âm , ta có :
\(x^2+y^2\ge2xy;y^2+z^2\ge2yz;x^2+z^2\ge2xz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\left(1\right)\)
\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(2x^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2+z^2+3\ge2xy+2yz+2xz+2x+2y+2z\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(x+y+z+2xy+2xz+2yz\right)=2.6=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
3 tháng 5 2018
Bổ sung ĐK không âm nha bạn 
Áp dụng BĐT Cô - Si : x2 + y2 ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0)
Ta có :
a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0) ( 1 )
b2 + c2 ≥ 2bc ( b > 0 ; c > 0) ( 2)
c2 + a2 ≥ 2ac ( c > 0 ; a > 0) ( 3 )
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , ta có :
2( a2 + b2 + c2 ) ≥ 2( ab + bc + ac)
⇔ 3( a2 + b2 + c2) ≥ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
⇔ a2 + b2 + c2 ≥ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{3}=\dfrac{9}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra khi : a = b = c = \(\dfrac{1}{2}\)
TL
2
27 tháng 8 2017
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 \(\ge\) a(b+c+d+e)
Xét: 4(a2+b2+c2+d2+e2) - 4(ab+ac+ad+ae)
= 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae
= (a2+4b2-4ab) + (a2+4c2-4ac) + (a2+4d2-4ad) + (a2+4e2-4ae)
= (a-2b)2 + (a-2c)2 + (a-2d)2 + (a-2e)2 \(\ge\) 0
=> 4(a2+b2+c2+d2+e2) \(\ge\) 4(ab+ac+ad+ae)
=> a2+b2+c2+d2+e2 \(\ge\) ab + ac + ad + ae
27 tháng 8 2017
Nguyễn Huy Tú38GP
Hồng Phúc Nguyễn34GP
Akai Haruma33GP
Mysterious Person
Nguyễn Nhã Hiếu15GP
๖ۣۜĐặng♥๖ۣۜQuý13GP
Đoàn Đức Hiếu11GP
Trần Thọ Đạt
Nguyễn Đình Dũng
ta xét hiệu \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)^2=3a^2+3b^2+3c^2\)\(-\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)\)
=\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\)=\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\)
=\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a;b;c\),đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Vậy \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)(đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxci ta có :
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a.1+b.1+c.1\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)(đpcm)