Question

[trinh thi hang]

CMR : \(3^{2^{4n+1}}+2⋮11\)với mọi n \(\inℕ\)

Answer 1

[Nguyễn Minh Quang]

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp

Xét n=0 ta có 

\(3^{2^{4n+1}}+2=3^{2^1}+2=11\text{ chia hết cho 11}\)

Giả sử điều trên đúng với n=k tức là \(3^{2^{4k+1}}+2\text{ chia hết cho 11hay }3^{2^{4k+1}}\equiv9mod\left(11\right)\)

Xét n=k+1

\(3^{2^{4k+5}}=3^{2^{4k+1}\times2^4}\equiv9^{2^4}mod11\left(\text{ do }3^{2^{4k+1}}\equiv9mod11\right)\)

mà \(9^{2^4}=9^{16}=3^{32}\equiv3^2mod11=9mod11\text{ Do }3^{30}\equiv1mod11\)

Vậy \(3^{2^{4k+1}}\equiv9mod11\Rightarrow3^{2^{4k+1}}+2\text{ chia hết cho 11}\)

Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh