\(\forall\) số nguyên n chẵn , n>4 thì n4 -4n3-4n2
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 6 2019

Lời giải:

Ta có:
\(A=n^4-4n^3-4n^2+16n=n^3(n-4)-4n(n-4)\)

\(=(n^3-4n)(n-4)=n(n^2-4)(n-4)=n(n-2)(n+2)(n-4)\)

Vì $n$ chẵn nên đặt $n=2k$ ($k\in\mathbb{N}, k>2$)

Khi đó:
\(A=2k(2k-2)(2k+2)(2k-4)=16(k-2)(k-1)k(k+1)(1)\)

Vì $k-2,k-1,k,k+1$ là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong đó chắc chắn tồn tại một số chia hết cho $4$ và một số chia $4$ dư $2$

\(\Rightarrow (k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 8(2)\)

Mặt khác: $k-2, k-1, k$ là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn trong đó tồn tại một số chia hết cho $3$.

\(\Rightarrow (k-2)(k-1)k\vdots 3\Rightarrow (k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 3(3)\)

Từ (2); (3) mà $(3,8)=1$ nên $(k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 24$ $(4)$

Từ \((1);(4)\Rightarrow A=16(k-2)(k-1)k(k+1)\vdots (16.24)\)

Hay $A\vdots 384$ (đpcm)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 6 2019

Lời giải:

Ta có:
\(A=n^4-4n^3-4n^2+16n=n^3(n-4)-4n(n-4)\)

\(=(n^3-4n)(n-4)=n(n^2-4)(n-4)=n(n-2)(n+2)(n-4)\)

Vì $n$ chẵn nên đặt $n=2k$ ($k\in\mathbb{N}, k>2$)

Khi đó:
\(A=2k(2k-2)(2k+2)(2k-4)=16(k-2)(k-1)k(k+1)(1)\)

Vì $k-2,k-1,k,k+1$ là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong đó chắc chắn tồn tại một số chia hết cho $4$ và một số chia $4$ dư $2$

\(\Rightarrow (k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 8(2)\)

Mặt khác: $k-2, k-1, k$ là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn trong đó tồn tại một số chia hết cho $3$.

\(\Rightarrow (k-2)(k-1)k\vdots 3\Rightarrow (k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 3(3)\)

Từ (2); (3) mà $(3,8)=1$ nên $(k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 24$ $(4)$

Từ \((1);(4)\Rightarrow A=16(k-2)(k-1)k(k+1)\vdots (16.24)\)

Hay $A\vdots 384$ (đpcm)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 8 2017

Lời giải:

Ta có:

\(x^{8n}+x^{4n}+1=(x^{4n})^2+2.x^{4n}+1-x^{4n}\)

\(=(x^{4n}+1)^2-x^{4n}=(x^{4n}+1+x^{2n})(x^{4n}+1-x^{2n})\)

Xét \(x^{4n}+1+x^{2n}=(x^{2n})^2+2.x^{2n}+1-x^{2n}=(x^{2n}+1)^2-x^{2n}\)

\(=(x^{2n}+1+x^n)(x^{2n}+1-x^n)\)

Do đó:

\(x^{8n}+x^{4n}+1=(x^{4n}+1-x^{2n})(x^{2n}+1+x^n)(x^{2n}+1-x^n)\)

\(\Rightarrow x^{8n}+x^{4n}+1\vdots x^{2n}+x^n+1\) (đpcm)

b)

Sửa đề: \(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1\vdots x^2+x+1\)

Đặt \(A=x^{3m+1}+x^{3n+2}+1\)

\(\Leftrightarrow A=x(x^{3m}-1)+x+x^2(x^{3n}-1)+x^2+1\)

\(\Leftrightarrow A=x[ (x^3)^m-1]+x^2[(x^3)^n-1]+(x^2+x+1)\)

Khai triển:

\((x^3)^m-1=(x^3)^m-1^m=(x^3-1).T=(x-1)(x^2+x+1)T\)

(đặt là T vì phần biểu thức đó không quan trọng)

\(\Rightarrow (x^3)^m-1\vdots x^2+x+1\)

Tương tự, \((x^3)^n-1\vdots x^2+x+1\)

Do đó, \(A=x(x^{3m}-1)+x^2(x^{3n}-1)+x^2+x+1\vdots x^2+x+1\)

Ta có đpcm.

28 tháng 11 2022

n^4-4n^3-4n^2+16n

=n^3(n-4)-4n(n-4)

=n(n-2)(n+2)(n-4)

=2k(2k-2)(2k+2)(2k-4)

=16k(k-1)(k+1)(k-2)

Vì k-2;k-1;k;k+1 là 4 số liên tiếp

nên k(k-1)(k+1)(k-2) chia hết cho 4!=24

=>A chia hết cho 384

b: \(\Leftrightarrow n^3-8+6⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

hay \(n\in\left\{3;1;4;0;5;-1;8;-4\right\}\)

c: \(\Leftrightarrow n^3+n^2+n-4n^2-4n-4+3⋮n^2+n+1\)

\(\Leftrightarrow n^2+n+1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

\(\Leftrightarrow n^2+n+1\in\left\{1;3\right\}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n^2+n=0\\n^2+n-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n\left(n+1\right)=0\\\left(n+2\right)\left(n-1\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow n\in\left\{0;-1;-2;1\right\}\)

 

8 tháng 9 2016

Ta có 384 = 3.128 và (3; 128) = 1 Lại có n chẵn và n > 4  n = 2k ( k  N, k > 2)  A = n4 – 4n3 – 4n + 16n = 16k4 – 32k3 – 16k2 + 32k = 16k(k3 – 2k2 – k + 2) = 16k(k – 2)(k – 1)(k + 1) Mà k, k – 2, k – 1, k + 1 là 4 số nguyên liên tiếp nên luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4.  k(k – 2)(k – 1)(k + 1)  8  A  16.8 hay A  128 Mặt khác ba trong 4 số nguyên liên tiếp k, k – 2, k – 1, k + 1 phải có một số chia hết cho 3 nên A  3 mà (3; 128) = 1 nên A  384. Vậy A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n 384 với mọi n chẵn và n > 4

bạn chứng minh tương tự như trên nhé tha số thôi leu

8 tháng 9 2016

Do n là số chẵn => n = 2.k (k > 1)

Ta có:

n4 - 4n3 - 4n2 + 16n

= (2k)4 - 4.(2k)3 - 4.(2k)2 + 16.2k

= 24.k4 - 4.23.k3 - 4.22.k2 + 32k

= 16.k4 - 32k- 16k2 + 32k

= 16k3.(k - 2) - 16k.(k - 2)

= (k - 2).(16k3 - 16k)

= (k - 2).16k.(k2 - 1)

= 16.(k - 2)(k - 1).k.(k + 1)

Vì (k - 2).(k - 1).k.(k + 1) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên (k - 2).(k - 1).k.(k + 1) chia hết cho 3 và 8

Mà (3;8)=1 => (k - 2).(k - 1).k.(k + 1) chia hết cho 24

=> 16.(k - 2).(k - 1).k.(k + 1) chia hết cho 384

=> n4 - 4n3 - 4n2 + 16n chia hết cho 384 (đpcm)

25 tháng 9 2018

a/ n thuộc Z nha

a: \(=3n^4-3n^3-11n^3+11n^2+10n^2-10n\)

\(=\left(n-1\right)\left(3n^3-11n^2+10n\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(3n-5\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(3n+3-8\right)\)

\(=3n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)-8n\left(n-2\right)\left(n-1\right)\)

Vì n;n-1;n+1;n-2 là 4 số liên tiếp

nên n(n-1)(n+1)(n+2) chia hết cho 4!=24

mà -8n(n-2)(n-1) chia hết cho 24

nên A chia hết cho 24

b: \(=n\left(n^4-5n^2+4\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì đây là 5 số liên tiếp

nên \(n\left(n-1\right)\cdot\left(n-2\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮5!=120\)

 

a: \(A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\cdot n\)

TH1: n=2k

n(n-1)(n+1) chia hết cho 6 với mọi n

=>A chia hết cho 12

TH2: n=2k+1

\(A=\left(2k+1\right)\cdot\left(2k+1\right)\cdot2k\cdot\left(2k+2\right)\)

\(=4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\left(2k+1\right)⋮4\)

mà 2k(2k+1)(2k+2) chia hết cho 6

nen A chia hết cho 12

d: Vì 5 là số nguyên tố nên \(n^5-n⋮5\left(1\right)\)

\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)⋮6\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 30