Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cái này đặt a= 2^-x,b=2^-y,c=2^-z
==>a+b+c=1
áp dụng cosi bình thường,vì a,b,c vai trò ngag nhau,đấu = khí a=b=c=1/3,dựa vào điểm rơi để áp dụng cosi thôi
a ) Giả sử : \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(a^2+b^2\right)\ge2\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2\ge2a^2+4ab+2b^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0\) ( Điều này luôn đúng )
\(\Rightarrow\) Điều giả sử là đúng
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
\(\left(đpcm\right)\)
b ) Giả sử : \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow9\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow9\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\right)\)
\(\Leftrightarrow9\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow6\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)
( Điều này luôn đúng )
\(\Rightarrow\) Điều giả sử là đúng
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
\(\left(đpcm\right)\)
:D
Áp dụng BĐT Cauchy schwarz dạng phân thức ta có :
\(\dfrac{a^2}{1+b-a}+\dfrac{b^2}{1+c-b}+\dfrac{c^2}{1+a-c}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=1\)
( vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) )
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a=b=c= \(\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)