Question

[Lương Thị Ngân Hà]

CM a\(\ge\)0, b\(\ge\)0 thì \(\sqrt{a}\)+\(\sqrt{b}\)\(\ge\)\(\sqrt{a+b}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Bình phương 2 vế:

\(\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}a=0\\b=0\end{matrix}\right.\)

Answer 2

[Blue Hat]

với a;b luôn lớn hơn hoặc bằng 0 ta luôn có:

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge\left(\sqrt{a+b}\right)^2\\ \Leftrightarrow a+2\sqrt{ab}+b\ge a+b\)

vì a;b luôn\(\ge\)0 nên \(2\sqrt{ab}\) luôn\(\ge\) 0 nên:

\(a+2\sqrt{ab}+b\) luôn lớn hơn hoặc bằng a+b

=>\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)(ĐPCM)