PH
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
21 tháng 3 2019
Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0
6) Sai đề
Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)
7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)
\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
21 tháng 3 2019
1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)
\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2
LG
21 tháng 3 2019
\(1,\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\))
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge o\)
0
2
ND
31 tháng 3 2018
\(a^4+b^4+2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4+2a^2b^2-4ab+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+2\left(ab-1\right)^2\ge0^{\left(1\right)}\)
\(^{\left(1\right)}\) đúng vậy ta có đpcm
31 tháng 3 2018
C1: a^4 + b^4 + 2 ≥ 4ab
<=> a^4 - 2a^2 + 1 + b^2 - 2b^2 + 1 + 2a^2 + 2b^2 + 4ab
<=> (a^2 - 1)^2 + (b^2 -1)^2 + 2( a^2 -2ab+ b^2)
<=> (a^2 -1)^2 + (b^2 -1)^2 + 2(a-b) >= 0 (với mọi a, b)
Vậy nên a^4 + b^4 + 2 ≥ 4ab (với mọi số nguyên a, b)
C2:Xét (a + b)^2 - 4ab
= a^2 + 2ab +b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 >= 0
=> (a+b)^2 >= 4ab
Mà ta có:
a^4 + b^4 + 2 - (a+b)^2
= a^4 + b^4 +2 -a^2 - b^2 - 2ab
=a^4 - 2a^2 + 1 + a^2 + b^4 - 2b^2 +1 + b^2 - 2ab
= (a^2 - 1)^2 + (b^2 - 1)^2 + (a-b)^2 >= 0
=> a^4 + b^4 +2 >= (a+b)^2
=> a^4 + b^4 +2 >= 4ab
bạn thấy cánh nào dễ hơn thì chọn nha
HV
1
CC
6 tháng 1 2020
\(4a^2b^2+4ab+1=\left(2ab\right)^2+2.2ab.1+1^2=\left(2ab+1\right)^2\ge0\left(\forall a,b\right)\)
LA
5 tháng 4 2019
a)
\(2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^3+2b^3\ge a^3+ab^2+a^2b+b^3\)
\(\Leftrightarrow2a^3+2b^3-a^3-ab^2-ab^2-a^3-b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-ab^2-a^2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì a , b > 0 nên BĐT trên đúng, mà các phép biến đổi là tương đương
=> ĐPCM
b) Ta có
\(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)
\(\Leftrightarrow4a^3+4b^3\ge a^3+b^3+3ab^2+3a^2b\)
\(\Leftrightarrow3a^3+3b^3-3a^2b-3ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3-a^2b-ab^2\right)\ge0\)
Theo câu a , có phần trong ngoặc luôn lớn hơn hoặc bằng 0
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3-a^2b-ab^2\right)\ge0\)
Các phép biến đổi là tương đương => ĐPCm
5 tháng 4 2019
\(\left(a+b\right)^4=a^4+4a^3b+6a^{^2}b^2+4ab^3+b^4\)
\(8\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)^4\)
\(\Leftrightarrow8\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+4a^3b+6a^{^2}b^2+4ab^3+b^4\)
\(\Leftrightarrow7\left(a^4+b^4\right)\ge4a^3b+6a^{^2}b^2+4ab^3\)
\(\Leftrightarrow7a^4+7b^4-4a^3b-6a^2b^2-4ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^3\left(a-b\right)-4b^3\left(a-b\right)+3\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)+3\left(a^2-b^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra
<=> a=b
\(\left(a^2+b^2\right)^2\ge ab\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4-a^3b-2a^2b^2-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
22 tháng 3 2018
1a)\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
b)\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
22 tháng 3 2018
2a)\(a^2+\dfrac{b^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+\dfrac{b^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2\cdot\dfrac{1}{2}b\cdot a+\left(\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
b)Đã cm
c)\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
VN
1