K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
2
9 tháng 2 2016
a2+b2+c2=1a2+b2+c2=1
|a|;|b|;|c|≤1|a|;|b|;|c|≤1
−1≤a;b;c≤1−1≤a;b;c≤1
(a+1)(b+1)(c+1)≥0(a+1)(b+1)(c+1)≥0
ab+bc+ac+a+b+c+1+abc≥0(1)ab+bc+ac+a+b+c+1+abc≥0(1)
Mặt khác ta có :
(1+a+b+c)2≥0(1+a+b+c)2≥0
a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)+2(a+b+c)+1≥0a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)+2(a+b+c)+1≥0
2(a+b+c+ab+bc+ac+1)≥02(a+b+c+ab+bc+ac+1)≥0
(a+b+c+ab+bc+ac+1)≥0(2)(a+b+c+ab+bc+ac+1)≥0(2)
KK
25 tháng 12 2016
Ta có \(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge6\)
\(=>2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)\ge12\)
\(=>2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ac\ge12\)
\(=>a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge12\)
Do \(a+b+c=3\)
\(=>\left(a+b+c\right)^2=9\\ =>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=9\)
Thế vào biểu thức \(a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge12\)
Ta có \(a^2+b^2+c^2+9\ge12\)
\(=>a^2+b^2+c^2\ge3\) (1)
Ta có \(\begin{cases}a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=9\\a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge6\end{cases}\)
\(=>\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)-\left(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc\right)\ge3\)
\(=>\left(2ab+2ac+2bc\right)-\left(ab+ac+bc\right)\ge3\)
\(=>ab+bc+ac\ge3\) (2)
Từ (1) và (2)
\(=>a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge6\)
10 tháng 3 2018
a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) :
Có \(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{B}chung\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta HBA\) (g.g)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{BA}\)
\(\Rightarrow\) \(AB^2=HB\cdot BC\)
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\):
Có \(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{C}chung\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta HAC\) (g.g) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{BC}{AC}\) \(\Rightarrow\) \(AC\cdot AC=BC\cdot HC\) \(\Rightarrow\) \(AC^2=BC\cdot HC\) b)
1 tháng 9 2020
Câu a bạn chứng minh được rồi là xong nha !!!!!!!
Câu b)
\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(B=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)
Ta lần lượt áp dụng BĐT Cauchy 2 số và sử dụng câu a sẽ được:
=> \(B\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{8.3\left(ab+bc+ca\right)}{9\left(ab+bc+ca\right)}\)
=> \(B\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
DẤU "=" Xảy ra <=> \(a=b=c\)
Vậy ta có ĐPCM !!!!!!!!
LT
4
17 tháng 9 2019
Giả sử :\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\forall a,b,c\)
Ta có:
\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b,c)
=> đpcm
17 tháng 9 2019
Nhân 2 vế cho 2, sau đó chuyển hết VP qua VT, BĐT đã cho tương đương với BĐT (a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 >=0 luôn đúng
14 tháng 3 2018
Do: \(a^2+b^2+c^2=1\text{ nen }a^2\le1,b^2\le1,c^2\le1\)
\(\Rightarrow a\ge-1;b\ge-1;c\ge-1\)
\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\ge0\)
Cần C/m:
\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)
Ta có:
\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2\left(a+b+c\right)+2ab+2bc+2ca+abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c+1\right)^2\ge0\left(\text{luon dung}\right)\)
=> ĐPCM
NB
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
23 tháng 6 2021
a) Gọi \(O\)là giao điểm \(AC\)và \(BD\).
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\(OA+OB>AB,OB+OC>BC,OC+OD>CD,OD+OA>AD\)
Cộng lại vế theo vế ta được:
\(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+DA\)
\(\Leftrightarrow AC+BD>\frac{1}{2}\left(AB+BC+CD+DA\right)\).
b) Theo bất đẳng thức tam giác:
\(AC< AB+BC,AC< CD+DA,BD< AB+DA,BD< BC+CD\)
Cộng lại vế theo vế ta được:
\(2\left(AC+BD\right)< 2\left(AB+BC+CD+DA\right)\)
\(\Leftrightarrow AC+BD< AB+BC+CD+DA\).
9 tháng 9 2019
A B C E D M H G
b) Chứng minh tam giác BEC đồng dạng tam giác ADC
Xét \(\Delta CAB\)và \(\Delta CDE\) có:
^CAB = ^CDE (=1v)
^C chung
=> \(\Delta CAB\)~\(\Delta CDE\)
=> \(\frac{CB}{CE}=\frac{CA}{CD}\) (1)
Xét \(\Delta CAD\)và \(\Delta CBE\)có:
\(\frac{CB}{CE}=\frac{CA}{CD}\)( từ (1))
và \(\widehat{C}\)chung
=> \(\Delta CAD\)~ \(\Delta CBE\)
c) Chứng tam giác ABE vuông cân.
+) Ta có: AB \(\perp\)AC (\(\Delta\)ABC vuông )
mà E \(\in\)AC
=> AB \(\perp\)AE => \(\Delta\)ABE vuông
+) Theo (a) => ^DAC = ^EBC
Gọi N là giao điểm của AD và BE
Xét \(\Delta\)DNB và \(\Delta\)ENA có:
^ENA = ^DNB ( đối đỉnh)
^NBD = ^NAE ( vì ^DAC = ^EBC )
=> \(\Delta\)DNB ~ \(\Delta\)ENA
=> ^NDB = ^NEA
Xét \(\Delta\)ABE và \(\Delta\)HAD có:
^AEB = ^HDA ( vì ^NDB = ^NEA ) (1)
^^BAE = ^AHD ( =1v)
=> \(\Delta\)ABE ~ \(\Delta\)HAD
=> ^HAD = ^ ABE (20
mà \(\Delta\)AHD có: AH=HD => \(\Delta\)AHD cân => ^HAD =^ HDA (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) => ^ABE =^BEA =>\(\Delta\)ABE cân
Vậy \(\Delta\) ABE vuông cân tại A
d) Ta có: M là trung điểm BE => AM là đường trung tuyến \(\Delta\)ABE mà \(\Delta\)ABE vuông cân tại A
=> AM là đường phân giác ^A của \(\Delta\)ABE
=> AG là đường phân giác ^A của \(\Delta\)ABC
Theo tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{GB}{GC}=\frac{AB}{AC}\)
Mà \(\Delta\)ABH ~\(\Delta\)CAH ( dễ tự chứng minh)
=> \(\frac{AB}{CA}=\frac{AH}{CH}\)
=> \(\frac{GB}{GC}=\frac{AH}{CH}\Rightarrow\frac{GB}{AH}=\frac{GC}{CH}=\frac{GB+GC}{AH+CH}=\frac{BC}{AH+CH}\)( tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
=> \(\frac{GC}{BC}=\frac{AH}{AH+CH}=\frac{DH}{AH+CH}\)( vì AH=DH)
15 tháng 4 2018
(tớ mới giải được câu a)
Xét tam giác AHB và CHA => AH/CH = HB/AH mà AH=HD => tỉ số đồng dạng
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) (BĐT đúng)
Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\left(b-c\right)^2\ge0\)
\(\left(a-c\right)^2\ge0\)
Xin chào chú tus, tôi sẽ đem đến cho bạn 1 cách giải ko dài dòng như MMS_Hồ Khánh Châu.
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\left(\text{luon dung}\right)\left(đ\text{pcm}\right)\)
P/s: Ko có ý j đâu :)