NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HT
1
20 tháng 7 2016
ta có (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=1+b/a+c/a+a/b+1+c/b+a/c+b/c+1=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)
ta có (a-b)2>0suy ra a/b+b/a> hoặc =2
suy ra (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>hoặc=9
suy ra 1/a+1/b+1/c>hoặc=9/a+b+c
ND
2
TN
20 tháng 2 2018
Cô si: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Nhân theo vế:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{abc\cdot\frac{1}{abc}}=9\)
"=" khi a=b=c
G
1
5 tháng 4 2015
Ta có (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) = 1 + 1 + 1 + a/b + a/c + b/a + b/c + c/a + c/b
= 3 + (a/b + b/a) + (a/c + c/a) + (b/c + c/b) (1)
Vì a, b, c > 0 nên ta có (Áp dụng Côsi)
a/b + b/a \(\ge\) 2 (2)
a/c + c/a \(\ge\) 2 (3)
b/c + c/b \(\ge\) 2 (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) \(\ge\) 9
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
TT
1
23 tháng 3 2017
Áp dụng dịnh lí Côsi, ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(=9\sqrt[3]{abc.\frac{1}{abc}}\)
\(=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
PT
2
12 tháng 3 2020
Đê thiếu : Cho a,b,c > 0 ; a + b + c = 1 nhé
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
12 tháng 3 2020
C2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
C3:Nếu không muốn cm BĐT Cauchy-schwarz,ta dùng bđt phụ sau:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
Áp dụng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{1-c}+\frac{1}{c}\)
Đến đây 1 biến thì ngon rồi
C4:\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
\(\ge3+2+2+2=9\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
HM
1
31 tháng 3 2015
1) \(VT=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{x}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{z}\)
\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\)
Với 2 số a; b dương dễ dàng chứng minh đc: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) (có thể chứng minh tương đương)
=> VT \(\ge3+2+2+2=9=VP\)=> ĐPCM
dâu = xảy ra khi x = y = z
2) Xét \(M+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\)
\(M+3=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(M+3=\frac{1}{2}.\left(2a+2b+2c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(M+3=\frac{1}{2}.\left(\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{1}{2}.9=\frac{9}{2}\)(Áp dụng câu 1)
=> M \(\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
min M = 3/2 khi a= b = c
PM
5
30 tháng 4 2018
ta có
\(M=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Lại áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)vào vế trên ta được \(M\ge3+2+2+2=9\left(dpcm\right)\)
KR
30 tháng 4 2018
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky , ta có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}\right)^2=\left(1+1+1\right)^2=9\)
16 tháng 3 2020
1.: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho 3 số dương
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
T có : 1/a+1/b+1/c>=[(1+1+1)^3]/(a+b+c)=3^3/3=9
=>1/a+1/b+1c>=9.
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/3