ND
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
8 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwaz:
\(\left(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\right)\left[xy^2+y^2\left(x+2y\right)\right]\ge\left(x^2+3y^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge\frac{\left(x^2+3y^2\right)^2}{2xy^2+2y^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge\frac{\left(x^2+3y^2\right)^2}{2y^2\left(x+y\right)}\) \(\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge x+y\)
Do đó: Áp dụng BĐT AM-GM ngược dấu:
\(2y^2\left(x+y\right)\le2y^2\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(x^2+y^2+2y^2\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2y^2\left(x+y\right)\le\frac{\left(x^2+3y^2\right)^2}{4}\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Vậy \(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge4\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 9 2019
Bài 1:
\(\frac{2}{x^2+2y^2+3}=\frac{2}{\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+1\right)+2}\le\frac{2}{2xy+2y+2}=\frac{1}{xy+y+1}\)
Bài 2:
\(A=\frac{4}{4x^2+9y^2}+\frac{4}{12xy}+\frac{52}{2x.3y}\ge\frac{16}{4x^2+9y^2+12xy}+\frac{52.4}{\left(2x+3y\right)^2}\)
\(A\ge\frac{16}{\left(2x+3y\right)^2}+\frac{208}{\left(2x+3y\right)^2}=\frac{224}{\left(2x+3y\right)^2}\ge\frac{224}{4}=56\)
\(A_{min}=56\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
LD
4
CC
2
1 tháng 6 2018
Sửa đề: \(Cho\)\(x;y>0.\)\(CMR:\)\(\left(x+y\right)^2+\frac{x+y}{2}\ge2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}\)
Ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow2\left(x+y\right)\ge x+2\sqrt{xy}+y\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{4}\) \(\left(1\right)\)
Lại có: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(VT\ge4xy+\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{4}\ge2\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}\) ( BĐT AM-GM)
2 tháng 6 2018
Bạn ơi đề khôg sai nhá nếu là dấu cộng thì ai chả làm đc đây là dấu nhân nhá
O
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 6 2020
\(P=x^2y^2\left(x^2+y^2\right)=\frac{1}{2}xy.2xy\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}.\frac{1}{4}\left(2xy+x^2+y^2\right)^2=\frac{1}{32}\left(x+y\right)^6=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
TL
0