Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
Đề bài nhìn không đúng lắm (thay điểm rơi vào thấy ko thỏa) có lẽ bạn ghi thiếu c cuối cùng, BĐT đúng có vẻ là:
\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
Mình sẽ chứng minh BĐT bên trên, BĐT tương đương:
\(\sqrt{\frac{1}{bc}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{ac}+\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{c}}\ge1+\sqrt{\frac{1}{bc}}+\sqrt{\frac{1}{ac}}+\sqrt{\frac{1}{ab}}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=1\)
Ta cần chứng minh:
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
Thật vậy:
\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\ge x+\sqrt{yx}\)
Làm tương tự và cộng lại:
\(VT\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=3\)
3.
\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(4a^2+4ab+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2b+c};\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{1}{2c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{3}.\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{2c}\right)=\left(x;y;z\right)\)
BĐT trở thành: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\ge\frac{8}{\sqrt{x^2+y^2+\frac{z^2}{2}}}\)
Ta có: \(VT=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2^2}{z}\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{x+y+z}=\frac{16}{x+y+z}\) (1)
\(\left(1.x+1.y+\sqrt{2}.\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^2\le\left(1+1+2\right)\left(x^2+y^2+\frac{z^2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow x+y+z\le2\sqrt{x^2+y^2+\frac{z^2}{2}}\)
\(\Rightarrow VP=\frac{8}{\sqrt{x^2+y^2+\frac{z^2}{2}}}\le\frac{16}{x+y+z}\)(2)
Từ (1); (2) suy ra đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{z}{2}\) hay \(a=b=\frac{c}{2}\)
2/
a/ \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}}=2\), dấu "=" khi \(a=1\)
b/ \(a+b+\frac{1}{2}=a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{4}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{4}\)
c/ Có lẽ bạn viết đề nhầm, nếu đề đúng thế này thì mình ko biết làm
Còn đề như vậy: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\) thì làm như sau:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\) ; \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\); \(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{2}{\sqrt{yz}}+\frac{2}{\sqrt{xz}}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\)
Dấu "=" khi \(x=y=z\)
d/ \(\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}-\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}=\frac{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}-\frac{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}\)
\(=\frac{7+4\sqrt{3}}{3-4}-\frac{7-4\sqrt{3}}{3-4}=-7-4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}=-8\sqrt{3}\)
e/ \(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^3+\left(\sqrt{b}\right)^3}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b-\sqrt{ab}\right)}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{ab}}-\left(a-b\right)\) (bạn chép đề sai)
a) Bình phương 2 vế được: \(\frac{4ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\le\sqrt{ab}\)
<=> \(4ab\le\sqrt{ab}\left(a+b\right)+2ab\)
<=>\(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\ge2ab\)
<=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\forall a,b>0\)