V
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
UK
11 tháng 11 2017
Từ giả thiết suy ra:
\(\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+2\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y+2\right)+\left(x+y+2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+2\right)\left(2x^2+2y^2-2xy+2x+2y+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+2\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+2\right]=0\)
\(\Rightarrow x+y=-2\)
Mà xy>0 nên x,y cùng nhỏ hơn 0
Áp dụng AM-GM,ta có: \(\sqrt{\left(-x\right)\left(-y\right)}\le\dfrac{-x-y}{2}=1\)
\(\Rightarrow xy\le1\Rightarrow\dfrac{-2}{xy}\le-2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{-2}{xy}\le-2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 9 2021
1.
PT $\Leftrightarrow y^2+2xy+x^2=x^2+3x+2$
$\Leftrightarrow (x+y)^2=(x+1)(x+2)$
Với $x\in\mathbb{Z}$ dễ thấy rằng $(x+1,x+2)=1$. Do đó để tích của chúng là scp thì $x+1,x+2$ cũng là những scp.
Đặt $x+1=a^2, x+2=b^2$ với $a,b\in\mathbb{N}$
$\Rightarrow b^2-a^2=1\Leftrightarrow (b-a)(b+a)=1$
Với $a,b\in\mathbb{N}$ dễ thấy $b-a=b+a=1$
$\Rightarrow b=1; a=0$
$\Rightarrow x=-1$
$(x+y)^2=(x+1)(x+2)=0\Rightarrow y=-x=1$
Vậy $(x,y)=(-1,1)$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 9 2021
2.
Đặt $x-1=a$ thì bài toán trở thành:
Cho $a,y>0$. CMR:
$\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{y^3}+\frac{1}{y^3}\geq 3(\frac{1-2a}{a}+\frac{a+1}{y})$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{y^3}+\frac{1}{y^3}+6\geq \frac{3}{a}+\frac{3a}{y}+\frac{3}{y}$
BĐT trên luôn đúng do theo BĐT AM-GM thì:
$\frac{1}{a^3}+1+1\geq \frac{3}{a}$
$\frac{1}{y^3}+1+1\geq \frac{3}{y}$
$\frac{a^3}{y^3}+1+1\geq \frac{3a}{y}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=y=1$
$\Leftrightarrow x=2; y=1$
AK
16 tháng 7 2018
a, \(\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\cdot\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{15+2\cdot3\cdot\sqrt{6}}-\sqrt{10+2\cdot2\cdot\sqrt{6}}=\sqrt{9+2\cdot3\cdot\sqrt{6}+6}-\sqrt{6+2\cdot\sqrt{6}\cdot2+4}=\sqrt{\left(3+\sqrt{6}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{6}+2\right)^2}=3+\sqrt{6}-\sqrt{6}-2=3-2=1\left(đpcm\right)\)
b, đề không rõ ràng
13 tháng 5 2018
Với \(x=y=2\) thì \(Q=\dfrac{10}{3}\)
Ta sẽ chứng minh \(\dfrac{10}{3}\) là GTNN của \(Q\)
Thật vậy: \(\dfrac{\left(x+y+2\right)^2}{xy+2\left(x+y\right)}+\dfrac{xy+2\left(x+y\right)}{\left(x+y+2\right)^2}\ge\dfrac{10}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-xy-2x+y^2-2y+4\right)\left(3x^2+5xy+10x+3y^2+10y+12\right)}{3\left(x+y+2\right)^2\left(xy+2x+2y\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\left(2x-y-2\right)^2+3\left(y-2\right)^2\right)\left(3x^2+5xy+10x+3y^2+10y+12\right)}{12\left(x+y+2\right)^2\left(xy+2x+2y\right)}\ge0\)
BĐT cuối đúng với \(x;y>0\)
Vậy \(Q_{Min}=\dfrac{10}{3}\Leftrightarrow x=y=2\)
18 tháng 5 2018
Quỳnh Hoa Lenka: Cách của mình đúng và được chấp nhận khi thi nhé :) cho nên mình cũng ko đòi hòi 1 lời giải nào hơn
2 tháng 10 2017
1.
\(\sqrt{\dfrac{x-1+\sqrt{2x-3}}{x+2-\sqrt{2x+3}}}\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{2x-3}+1\right)^2}{\left(\sqrt{2x+3}-1\right)^2}}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\\dfrac{\sqrt{2x-3}+1}{\sqrt{2x+3}-1}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\\dfrac{\left(\sqrt{2x-3}+1\right)\left(\sqrt{2x+3}+1\right)}{2\left(x+1\right)}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\\dfrac{\sqrt{4x^2-9}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{2x+3}+1}{2\left(x+1\right)}\end{matrix}\right.\)
hết tối giải rồi
Lời giải:
Gọi biểu thức trên là $A$. Ta có:
\(A=\frac{x^2+2xy+y^2}{4}+\frac{3x^2+3y^2+2xy}{4}-2(x+y)+\frac{13}{3}\)
\(=(\frac{x+y}{2})^2-2(x+y)+4+\frac{3x^2+3y^2+2xy}{4}+\frac{1}{3}\)
\(=(\frac{x+y}{2}-2)^2+\frac{(x+y)^2+2(x^2+y^2)}{4}+\frac{1}{3}\)
\(\geq 0+\frac{0+2(0+0)}{4}+\frac{1}{3}>0\) với mọi $x,y\in\mathbb{R}$
Ta có đpcm.