Chứng minh: \(x^2+4x+1\ge-3\) \(x^2+x+...

\(x^2+4x+1\ge-3\)

\(x^2+x+...">

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

TC

Thái Cao Bạch Trà

10 tháng 7 2017

Chứng minh: \(x^2+4x+1\ge-3\)

\(x^2+x+2\ge\dfrac{7}{4}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

TT

Trần Thiên Kim

10 tháng 7 2017

Hỏi đáp Toán

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

TH

Thu Hà

19 tháng 4 2017

Câu hỏi hay

1, Với mọi a,b,c tùy ý, chứng minh:

a² + b² + 1 \(\ge\) ab + a + b

2, Cho x + y + z = 1

Chứng minh: x² + y² + z² \(\ge\dfrac{1}{3}\)

3, Cho 4x + y = 1

Chứng minh: 4x² + y² \(\ge\dfrac{1}{3}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

2

LF

Lightning Farron

19 tháng 4 2017

Bài 1:

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)

Bài 2:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=1^2=1\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Bài 3:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(4+1\right)\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2=1^2=1\)

\(\Rightarrow4x^2+y^2\ge\dfrac{1}{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{5}\)

NT

Nguyễn Tim Khái

5 tháng 5 2017

bài 1 mình thấy sao sao ý !!

đề bài là với mọi a,b,c tùy ý và chứng minh chứ bạn làm là khai thác ý cần chứng minh để chỉ ra điều kiện mà

C

Ctuu

21 tháng 9 2020

Chứng minh:

1) \(^{x^2}\)-10xy+\(^{25y^2}\)\(\ge\)0

2) \(^{-4x^2}\)+4x\(\le\)-1

3) \(^{x^2}\)-3x+\(\frac{9}{4}\)\(\ge\)0

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

0

LT

Lương Tuệ Mẫn

25 tháng 7 2018

a)-4x+1>17
b)4(x-3)\(^2\) - (2x-a)\(^2\) ≥ 12x+3
c)\(\dfrac{4x-5}{3}\) ≤ \(\dfrac{7-x}{5}\)
d)\(\dfrac{2x-5}{3}-\dfrac{3x-1}{2}\) < \(\dfrac{3-x}{5}-\dfrac{2x-1}{4}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

2

LT

Lương Tuệ Mẫn

13 tháng 8 2018

giải bất phương trình

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

20 tháng 8 2022

a: =>-4x>16

=>x<-4

c: =>20x-25<=21-3x

=>23x<=46

=>x<=2

d: =>20(2x-5)-30(3x-1)<12(3-x)-15(2x-1)

=>40x-100-90x+30<36-12x-30x+15

=>-50x-70<-42x+51

=>-8x<121

=>x>-121/8

HT

Hà thúy anh

18 tháng 8 2017

a) Chứng minh: \(2016^{2015}+2018^{2016}⋮2017\)

b) Cho x, y \(\ge\)1

Chứng minh: \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

UK

Unruly Kid

19 tháng 8 2017

b) \(x,y\ge1\Rightarrow xy\ge1\)

BĐT đã cho tương đương với:

\(\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow+\dfrac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

BĐT cuối luôn đúng nên ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi x=y hoặc xy=1

DT

Duong Thi Nhuong

1 tháng 8 2017

a) Với x, y \(\ge\)0. Chứng minh \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge2\sqrt{2\left(x+y\right)\sqrt{xy}}\)

b) Cho x, y, z, t \(\ge\)0. Chứng minh: \(\dfrac{x+y+z+t}{4}\ge\sqrt[4]{xyzt}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

LF

Lightning Farron

1 tháng 8 2017

a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\)

\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\cdot2\sqrt{xy}}=VP\)

Xảy ra khi \(x=y\)

b)\(BDT\Leftrightarrow x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)

Đúng với AM-GM 4 số

Xảy ra khi \(x=y=z=t\)

N

N.T.M.D

13 tháng 5 2021 - olm

Cho các số thực x,y thỏa mãn x+y\(\ge\)4.Chứng minh

A=\(\frac{3x^2+4}{4x}\)+\(\frac{3y^2+2}{4y}\)\(\ge\)4

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

DD

Đoàn Đức Hà

Giáo viên

13 tháng 5 2021

\(A=\frac{3x^2+4}{4x}+\frac{3y^2+4}{4y}=\frac{3}{4}\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

\(\ge\frac{3}{4}\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)+\frac{x+y}{4}+\frac{4}{x+y}\)

\(\ge\frac{1}{2}.4+2\sqrt{\frac{x+y}{4}.\frac{4}{x+y}}=2+2=4\)

Dấu \(=\)xảy ra tại \(x=y=2\).

HL

Hang Le

21 tháng 3 2019

Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1, x3 + y3 \(\ge\)x2y+xy2 (x, y \(\ge\)0) 2, x4+ y4 \(\ge\)x3y+xy3 3, a2+b2+1\(\ge\)ab+a+b 4, a2+b2+c2+\(\frac{3}{4}\)\(\ge\)a+b+c 5,a2+b2+c2+d2\(\ge\)a(b+c+d) 6, x3-4x+5 >0 7, a4+b4+2 \(\ge\)4ab 8, \(\frac{ab}{a+b}\)+\(\frac{bc}{b+c}\)+\(\frac{ca}{c+a}\le\)\(\frac{a+b+c}{2}\)(với...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

2

NN

nguyễn ngọc dinh

21 tháng 3 2019

Ý 3 bạn bỏ dòng áp dụng....ta có nhé

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}b+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{2}c+c^2\right)+\)\(\left(\frac{a^2}{4}-2.\frac{a}{d}d+d^2\right)+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)+\left(\frac{a}{2}-c\right)+\)\(\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\forall a;b;c;d\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=d=0

6) Sai đề

Sửa thành:\(x^2-4x+5>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\)

7) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b\ge2.\sqrt{ab}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2.\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{cb}{c+b}\le\frac{cb}{2.\sqrt{cb}}=\frac{\sqrt{cb}}{2}\)

\(\frac{ca}{c+a}\le\frac{ca}{2.\sqrt{ca}}=\frac{\sqrt{ca}}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

Cộng vế với vế của các BĐT trên ta có:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}}{2}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

NN

nguyễn ngọc dinh

21 tháng 3 2019

1)\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\) ( vì x;y\(\ge0\))

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )

\(\Rightarrow x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

2) \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3y+y^4-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

3) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)\(\forall a\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}\ge a\forall a\)

\(\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\)\(\forall b\Leftrightarrow\frac{b^2}{2}+\frac{1}{2}\ge b\forall b\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\forall a;b\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab\forall a;b\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

4) \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\left[a^2-2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[b^2-2.b.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\)\(+\left[c^2-2.c.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\)\(+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a;b;c\)( luôn đúng)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1/2

D2

dân 2k3

25 tháng 8 2017

giải các bất pt sau: a, 4x-10<0 b, 2x+x+12\(\ge0\) c, x-5\(\ge3-x\) d, 7-3x>9-x đ, 2x-(3-5x)\(\le4\left(x+3\right)\) e, 3x-6+x<9-x f, 2t-3+5t\(\ge\)4t+12 g, 3y-2\(\le2y-3\) h,3-4x+24+6x\(\ge x+27+3x\) i, 5-(6-x)\(\le4\left(3-2x\right)\) k, 5(2x-3)- 4(5x-7)\(\ge19-2\left(x+11\right)\) l, \(\dfrac{2x-5}{3}-\dfrac{3x-1}{2}< \dfrac{3-x}{5}-\dfrac{2x-1}{4}\) m, \(5x-\dfrac{3-2x}{2}>\dfrac{7x-5}{2}+x\) n, \(\dfrac{7x-2}{3}-2x< 5-\dfrac{x-2}{4}\) ...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

4

D

๖ۣۜĐặng♥๖ۣۜQuý

25 tháng 8 2017

a)

\(4x-10< 0\\ 4x< 10\\ x< \dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}\)

b)

\(2x+x+12\ge0\\ 3x\ge-12\\ x\ge-\dfrac{12}{3}=-4\)

c)

\(x-5\ge3-x\\ 2x\ge8\\ x\ge4\)

d)

\(7-3x>9-x\\ -2>2x\\ x< -1\)

đ)

\(2x-\left(3-5x\right)\le4\left(x+3\right)\\ 2x-3+5x\le4x+12\\ 3x\le15\\ x\le5\)

e)

\(3x-6+x< 9-x\\ 5x< 15\\ x< 3\)

f)

\(2t-3+5t\ge4t+12\\ 3t\ge15\\ t\ge5\)

g)

\(3y-2\le2y-3\\ y\le-1\)

h)

\(3-4x+24+6x\ge x+27+3x\\ 0\ge2x\\ 0\ge x\)

i)

\(5-\left(6-x\right)\le4\left(3-2x\right)\\ 5-6+x\le12-8x\\ \\ 9x\le13\\ x\le\dfrac{13}{9}\)

k)

\(5\left(2x-3\right)-4\left(5x-7\right)\ge19-2\left(x+11\right)\\ 10x-15-20x+28\ge19-2x-22\\ 13-10x\ge-2x-3\\ -8x\ge-16\\ x\le\dfrac{-16}{-8}=2\)

l)

\(\dfrac{2x-5}{3}-\dfrac{3x-1}{2}< \dfrac{3-x}{5}-\dfrac{2x-1}{4}\\ \dfrac{40x-100}{60}-\dfrac{90x-30}{2}< \dfrac{36-12x}{60}-\dfrac{30x-15}{60}\\ \Rightarrow40x-100-90x+30< 36-12x-30x+15\\ 130-50x< 51-42x\\ 92x< -79\\ x< -\dfrac{79}{92}\)

m)

\(5x-\dfrac{3-2x}{2}>\dfrac{7x-5}{2}+x\\ \dfrac{10x}{2}-\dfrac{3-2x}{2}>\dfrac{7x-5}{2}+\dfrac{2x}{2}\\ \Rightarrow10x-3+2x>7x-5+2x\\ 12x-3>9x-5\\ 3x>-2\\ x>-\dfrac{2}{3}\)

n)

\(\dfrac{7x-2}{3}-2x< 5-\dfrac{x-2}{4}\\ \dfrac{28x-8}{12}-\dfrac{24x}{12}< \dfrac{60}{12}-\dfrac{3x-6}{12}\\ \Rightarrow28x-8-24x< 60-3x+6\\ 4x-8< -3x+66\\ 7x< 74\\ x< \dfrac{74}{7}\)

Q

qwerty

25 tháng 8 2017

a) \(4x-10< 0\)

\(\Leftrightarrow4x< 10\)

\(\Leftrightarrow x< \dfrac{5}{2}\)

b) ???

c) \(x-5\ge3-x\)

\(\Leftrightarrow2x-5\ge3\)

\(\Leftrightarrow2x\ge8\)

\(\Leftrightarrow x\ge4\)

d) \(7-3x>9-x\)

\(\Leftrightarrow7-2x>9\)

\(\Leftrightarrow-2x>2\)

\(\Leftrightarrow x< -1\)

đ) ???

e) \(3x-6+x< 9-x\)

\(\Leftrightarrow4x-6< 9-x\)

\(\Leftrightarrow5x-6< 9\)

\(\Leftrightarrow5x< 15\)

\(\Leftrightarrow x< 3\)

f) ???

g) ???

h) \(3-4x+24+6x\ge x+27+3x\)

\(\Leftrightarrow2x+27\ge4x+27\)

\(\Leftrightarrow-2x\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\le0\)

i) \(5-\left(6-x\right)\le4\left(3-2x\right)\)

\(\Leftrightarrow5-6+x\le12-8x\)

\(\Leftrightarrow x-1\le12-8x\)

\(\Leftrightarrow9x-1\le12\)

\(\Leftrightarrow9x\le13\)

\(\Leftrightarrow x\le\dfrac{13}{9}\)

k) \(5\left(2x-3\right)-4\left(5x-7\right)\ge19-2\left(x+11\right)\)

\(\Leftrightarrow10x-15-20x+28\ge19-2x-22\)

\(\Leftrightarrow-10x+23\ge-3-2x\)

\(\Leftrightarrow-8x+13\ge-3\)

\(\Leftrightarrow-8x\ge-16\)

\(\Leftrightarrow x\ge2\)

l) \(\dfrac{2x-5}{3}-\dfrac{3x-1}{2}< \dfrac{3-x}{5}-\dfrac{2x-1}{4}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{5}{6}x-\dfrac{7}{6}< -\dfrac{7}{10}x+\dfrac{17}{20}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{2}{15}x-\dfrac{7}{6}< \dfrac{17}{20}\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{2}{15}x< \dfrac{121}{60}\)

\(\Leftrightarrow x>-\dfrac{121}{8}\)

m, n) làm tương tự:

đáp án: m. \(x>-\dfrac{2}{3}\); n. \(x< \dfrac{74}{7}\)

TN

Trần Nhật Quang

4 tháng 7 2018

chứng minh

\(x^2+y^2\ge2xy\)

\(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

Q

qwerty

4 tháng 7 2018

1/ chuyển vế đổi dấu ta có: \(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\)

Mà một cái bình phương luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0 => BĐT ban đầu đúng

2/ Chứng minh x2y2(x2+y2) 2 - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

3/ ...