Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{x^2+z^2}\le\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}+3\) \(\left(\text{*}\right)\)
Khi đó, ta cần chứng minh bất đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\) luôn đúng với mọi \(x,y,z\in Z^+\) và \(x^2+y^2+z^2=2\) \(\left(\alpha\right)\)
\(VP\left(\text{*}\right)=\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}+3\)
Ta có các bất đẳng thức quen thuộc đối với ba số \(x,y,z\in Z^+\) như sau:
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2xz\end{cases}}\)
Áp dụng các bất đẳng thức trên cho \(VP\left(\text{*}\right)\) ta được:
\(VP\left(\text{*}\right)\ge\left(\frac{x^2}{y^2+z^2}+1\right)+\left(\frac{y^2}{x^2+z^2}+1\right)+\left(\frac{z^2}{x^2+y^2}+1\right)=\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{x^2+z^2}+\frac{2}{x^2+y^2}\) (theo \(\left(\alpha\right)\) )
Hay nói cách khác, \(VP\left(\text{*}\right)\ge VT\left(\text{*}\right)\)
Vậy, bđt \(\left(\text{*}\right)\) được chứng minh.
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\x^2+y^2+z^2=2\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{x^2+z^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+z^2}\)
\(=3+\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}\)
Áp dụng BĐT cô-si cho các cặp số thực không âm sau: x2 và y2 ; y2 và z2 ; x2 và z2 ta được:
\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{z^2}{x^2+y^2}\le\frac{z^2}{2xy}\left(1\right)\)
Tương tự ta được: \(\frac{x^2}{y^2+z^2}\le\frac{x^2}{2yz}\left(2\right);\frac{y^2}{x^2+z^2}\le\frac{y^2}{2xz} \left(3\right)\)
Từ (1) và (2) và (3) suy ra: \(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{x^2+z^2}\le3+\frac{z^2}{2xy}+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)
BDT CẦN CM TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI
\(x+y+z-\frac{x}{1+y^2}-\frac{y}{1+z^2}-\frac{z}{1+x^2}\le3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{x}{1+y^2}\right)+\left(y-\frac{y}{1+z^2}\right)+\left(z-\frac{z}{1+x^2}\right)\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy^2}{1+y^2}+\frac{yz^2}{1+z^2}+\frac{zx^2}{1+x^2}\le\frac{3}{2}\)(1)
mat khac \(1+y^2\ge2y;1+z^2\ge2z;1+x^2\ge2x\)nen
(2)\(\frac{xy^2}{1+y^2}+\frac{yz^2}{1+z^2}+\frac{zx^2}{1+x^2}\le\frac{xy^2}{2y}+\frac{yz^2}{2z}+\frac{zx^2}{2x}=\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\)
ma \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge xy+yz+zx\) (bn tu cm)
\(\Rightarrow vt\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y+x\right)^2}{3}=\frac{3}{2}\)
dau =xay ra khi va chi khi x=y=z=1
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y)³ - 3xy(x-y) + z³ - 3xyz
= [(x+y)³ + z³] - 3xy(x+y+z)
= (x+y+z)³ - 3z(x+y)(x+y+z) - 3xy(x-y-z)
= (x+y+z)[(x+y+z)² - 3z(x+y) - 3xy]
= (x+y+z)(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xz - 3yz - 3xy)
= (x+y+z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz).
~~~~~~~~
Bài làm trên mình đã sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ sau:
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a-b)
=> a³ + b³ = (a+b)³ - 3ab(a-b).
Chúc bạn học giỏi!
Bằng một số bước tính toán cơ bản, chúng ta có được:
\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{x\left(x-z\right)^2}{2\left(x^2+z^2\right)}\ge0\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\text{VT}=x-\frac{x}{x^2+z}+y-\frac{y}{y^2+x}+z-\frac{z}{z^2+y}=(x+y+z)-\left(\frac{x}{x^2+z}+\frac{y}{y^2+x}+\frac{z}{z^2+y}\right)\)
\(\geq (x+y+z)-\left(\frac{x}{2\sqrt{x^2z}}+\frac{y}{2\sqrt{y^2x}}+\frac{z}{2\sqrt{z^2y}}\right)=(x+y+z)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)(1)\)
Từ giả thiết \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Cauchy-Schwarz:
\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\geq 3(2)\)
\(\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\leq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(1+1+1)=9\)
\(\Rightarrow \left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\leq 3(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \text{VT}\geq 3-\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)
Mặt khác: \(\text{VP}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{3}{2}\)
Do đó \(\text{VT}\geq \text{VP}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Nếu x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 thì:
x + y + z ≥ 0
x - y 2 + y - z 2 + z - x 2 ≥ 0
Suy ra:
x 3 + y 3 + z 3 - 3 x y z ≥ 0 ⇔ x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 x y z
Hay: x 3 + y 3 + z 3 3 ≥ x y z