Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, \(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)\)
\(=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)
Vì \(a,a+1\) là 2 số tự nhiên liên tiếp nên:
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\) chia hết cho \(2\)
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) chia hết cho \(2\)
Vì \(a,a+1,a+2\) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên:
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) chia hết cho 3
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) chia hết cho \(2.3\)
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) chia hết cho \(6\left(đpcm\right)\)
b, \(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)\)
\(=a\left[2a-3-2\left(a+1\right)\right]\)
\(=-5a\) chia hết cho \(5\left(đpcm\right)\)
a: \(=a^2-b^4\)
b: \(=\left(a^2+2a\right)^2-9\)
c: \(=a^2-\left(2a+3\right)^2\)
d: \(=a^4-\left(2a-3\right)^2\)
e: \(=\left(-a^2-2a+3\right)^2\)
g: \(=4a^2-a^4\)
\(-x^2+4x-5\)
\(=\left(-x+4x-4\right)-1\)
\(=-\left(x-2\right)^2-1\le-1\)
Vì -1<0
Nên \(-x^2+4x-5< 0\) với mọi x
a ,\(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)⋮6\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮6\)
Vì a(a+1) là 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2
Vì a (a+1)(a+2) là 3 số nguyên liên tiêp nên chia hết cho 3
Mà 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮6\) hay \(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)⋮6\) (đpcm)
b,\(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)⋮5\)
\(\Leftrightarrow2a^2-3a-2a^2-2a⋮5\)
\(\Leftrightarrow-5a⋮5\) (đúng)
Vậy \(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)⋮5\)
c,\(x^2+2x+2>0\forall x\)
Ta có \(x^2+2x+2=\left(x^2+2x+1\right)+1=\left(x+1\right)^2+1\)
Vì \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x+1\right)^2+1\ge1>0\forall x\)
Vậy \(x^2+2x+2>0\forall x\)
d,\(x^2-x+1>0\forall x\)
Ta có: \(x^2-x+1=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)
Vì \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\forall x\)
Vậy \(x^2-x+1>0\forall x\)
e,\(-x^2+4x-5< 0\forall x\)
Ta có \(-x^2+4x-5=-\left(x^2-4x+4\right)-1=-\left(x-2\right)^2-1\)
Vì \(-\left(x-2\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-2\right)^2-1\le-1< 0\forall x\)
Vậy \(-x^2+4x-5< 0\forall x\)
1) \(A=-2x^2-10y^2+4xy+4x+4y+2013=-2\left(x-y-1\right)^2-8\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+2017\le2017\forall x,y\inℝ\)Đẳng thức xảy ra khi x = 3/2; y = 1/2
2) \(A=a^4-2a^3+2a^2-2a+2=\left(a^2+1\right)\left(a-1\right)^2+1\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 1
3) \(N=\left(x-y\right)\left(x-2y\right)\left(x-3y\right)\left(x-4y\right)+y^4=\left(x^2-5xy+4y^2\right)\left(x^2-5x+6y^2\right)+y^4=\left(x^2-5xy+4y^2\right)^2+2y^2\left(x^2-5xy+4y^2\right)+y^4=\left(x^2-5xy+5y^2\right)^2\)(là số chính phương, đpcm)
4) \(a^3+b^3=3ab-1\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)-3ab+1=0\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^3+1\right]-3ab\left(a+b+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(a+b+1\right)\left(a^2+2ab+b^2-a-b+1\right)-3ab\left(a+b+1\right)=0\Leftrightarrow\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2-ab-a-b+1\right)=0\)Vì a, b dương nên a + b + 1 > 0 suy ra \(a^2+b^2-ab-a-b+1=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=1\)
Do đó \(a^{2018}+b^{2019}=1+1=2\)
5) \(A=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3=3n\left(n^2+5\right)+9\left(n^2+1\right)⋮9\)(Do số chính phương chia 3 dư 1 hoặc 0)
\(C=\left(\dfrac{1}{\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2}+\dfrac{2}{\left(a+1\right)^3}\cdot\dfrac{a+1}{a}\right):\dfrac{a-1}{a^3}\)
\(=\left(\dfrac{1}{\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2}+\dfrac{2}{a\left(a+1\right)^2}\right):\dfrac{a-1}{a^3}\)
\(=\dfrac{a+2\cdot\left(a^2+1\right)}{a\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2}\cdot\dfrac{a^3}{a-1}\)
\(=\dfrac{2a\left(a+1\right)}{\left(a^2+1\right)\cdot\left(a+1\right)^3}\cdot\dfrac{a^2}{a-1}\)
\(=\dfrac{2a^3}{\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2\cdot\left(a-1\right)}\)
a: \(A=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)
Vì a;a+1;a+2 là ba số nguyên liên tiếp
nên \(A=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮3!=6\)
b: \(B=\left(2a-1\right)^3-\left(2a-1\right)\)
\(=\left(2a-1\right)\left[\left(2a-1\right)^2-1\right]\)
\(=\left(2a-1\right)\left(2a-2\right)\cdot2a\)
\(=4a\left(a-1\right)\left(2a-1\right)\)
Vì a;a-1 là hai số liên tiếp nên a(a-1) chia hết cho 2
=>B chia hết cho 8