Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}>2\)
Ta có :
\(\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{a+b}{a+b+c+d}\) ; \(\frac{b+c}{b+c+d}>\frac{b+c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c+d}{c+d+a}>\frac{c+d}{a+b+c+d}\) ; \(\frac{d+a}{d+a+b}>\frac{d+a}{a+b+c+d}\)
(Những bất đẳng thức này có được là vào tính chất của phân số : Trong hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu bé hơn thì lớn hơn và ngược lại)
Cộng tùng vế của các bất đẳng thức ta được:
\(\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{a+d}{d+a+b}>\frac{2\left(a+c+c+d\right)}{a+b+c+d}\)
\(\Leftrightarrow dpcm\)
TK MK nka !!! Mà bạn ở đâu z ?
Ta có: abcd=1 và a+b+c+d=\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\)
Do đó: a+b-\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+c+d-\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(1-\frac{1}{ab}\right)+\left(c+d\right)\left(1-\frac{1}{cd}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(ab-1\right)}{ab}+\left(c+d\right)\left(1-ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(\frac{a+b}{ab}-c-d\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a+b-abc-abd\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left[a\left(1-bc\right)+b\left(1-ad\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left[a\left(1-bc\right)+b\left(abcd-ad\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(1-bc\right)\left(a-abd\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(ab-1\right)\left(1-bc\right)\left(1-bd\right)=0\)
<=> ab-1=0 hoặc 1-bc=0 hoặc 1-bd=0
<=> ab=1 hoặc bc=1 hoặc bd=1
\(\Leftrightarrow a\left(ab-1\right)\left(1-bc\right)\left(1-bd\right)=0\)
Ta có : (a+b)/(a+b+c)<(a+b)/(a+b+c+d) ; (b+c)/(b+c+d)<(b+c)/(a+b+c+d) ; (c+d)/(c+d+a)>(c+d)(a+b+c+d) ; (a+d)/(a+b+d)>(a+d)(a+b+c+d)
Cộng 4 bất đẳng thức trên rồi rút gọn vế phải sẽ ra kết quả như đề bài
Trên trường tui không nghĩ ra về nhà mới phát hiên ra được
Cho mk hỏi bạn TMDuc va TNVuong thi cùng trường à. Sao lại có bài chung thế.
mỗi tỉ số đã cho đều bớt đi 1 ta được :
\(\frac{2a+b+c+d}{a}\) - 1 = \(\frac{a+2b+c+d}{b}\) - 1 = \(\frac{a+b+2c+d}{c}\) - 1 = \(\frac{a+b+c+2d}{d}\) - 1
\(\frac{a+b+c+d}{a}\) = \(\frac{a+b+c+d}{b}\) = \(\frac{a+b+c+d}{c}\) = \(\frac{a+b+c+d}{d}\)
- Nếu a+b+c+d \(\ne\) 0 thì a = b = c =d lúc đó M = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
- Nếu a + b + c + d = 0 thì a + b = - ( c + d ) ; b + c = - ( d + a )
c + d = - ( a + b ) ; d + a = - ( b + c )
Lúc đó : M= (-1 ) + (-1) + (-1) + (-1) = -4
Lấy 1 điểm O tùy ý , Qua O vẽ 9 đường thẳng lần lượt song song với 9 đường thẳng đã cho 9 đường thẳng qua O tạo thành 18 góc không có điểm trong chung , mỗi góc này tương ứng bằng góc giữa 2 đường thẳng tronh số 9 đường thẳng đã cho . Tổng số đo của 18 góc đỉnh O là 360 độ do đó ít nhất có một góc nhỏ hơn 360 : 18 = 20 , từ đó suy ra ít nhất cũng có hai đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 20 độ
Áp dụng BĐT Svác - xơ.
\(F=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\)
\(=\frac{a^2}{ba+ca}+\frac{b^2}{cb+db}+\frac{c^2}{dc+ac}+\frac{d^2}{ad+bd}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ba+ca+bd+db+dc+ac+ad+bd}\)(1)
Xét: \(\left(a+b+c+d\right)^2-2\left(ba+ca+bd+db+dc+ac+ad+bd\right)\)
\(=a^2+b^2+c^2+d^2-2bd-2ac\)
\(=\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)
=> \(\left(a+b+c+d\right)^2\ge2\left(ba+ca+bd+db+dc+ac+ad+bd\right)\)
=> \(\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ba+ca+bd+db+dc+ac+ad+bd}\ge2\)(2)
Từ ( 1); (2) => \(F\ge2\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = d.
Bài này có nhiều hơn 3 cách làm
C1)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (1)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (2)
(1)(2) => đpcm
c2 ) Bunhia
C3) thế thui ..
Làm bài này một hồi chắc bay não:v
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(VT\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm.
Bài 2:
a) Dấu = bài này không xảy ra ? Nếu đúng như vầy thì em xin một slot, ăn cơm xong đi ngủ rồi dậy làm:v
b) Theo BĐT Bunhicopxki:
\(VT^2\le3.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\left(qed\right)\)
Đẳng thức xảy r akhi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 3: Theo BĐT Cauchy-Schwarz và bđt AM-GM, ta có:
\(VT\ge\frac{4}{2-\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{4}{2-2xy}=\frac{2}{1-xy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(\frac{1}{a^2+1}=\frac{\left(a^2+1\right)-a^2}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\ge1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\)
Hoàn toàn tương tự ta được
\(\frac{1}{b^2+1}\ge1-\frac{b}{2};\frac{1}{c^2+1}\ge1-\frac{c}{2};\frac{1}{d^2+1}\ge1-\frac{d}{2}\)
Cộng theo vế của từng BĐT trên ta được
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1\ge2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1
Nguồn: Nguyễn Thị Thúy
\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{a+b+d}>\frac{d}{a+b+c+d}\)
\(A=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)
\(A>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=1\)
\(A>1\)
dễ mà, tick đi, mik giải cho