Question

[cường]

cho tam giác abc ( ab< ac) nội tiếp đường tròn tâm o đường kính r. các đường cao ad,be,cf giao nhau tại h a)chứng minh tứ giác aehf nội tiếp đường tròn b?qua d kẻ đường thẳng song song è cắt be tại i và ac tại j. chứng minh di=dj

Answer 1

[Phạm Tuấn Kiệt]

Câu a: Chứng minh tứ giác \(A E H F\) nội tiếp đường tròn

Bước 1: Chứng minh \(\angle A E F + \angle A H F = 180^{\circ}\)

• Vì \(B E\) và \(C F\) là các đường cao của tam giác \(A B C\), ta có: \(\angle A E B = 90^{\circ} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \angle A F C = 90^{\circ}\)
• \(H\) là trực tâm tam giác \(A B C\), nên \(H\) nằm trên cả ba đường cao.
• Xét tứ giác \(A E H F\), ta có: \(\angle A E F + \angle A H F = \angle A E B + \angle A F C = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}\)
• Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^{\circ}\), suy ra nó nội tiếp đường tròn.

Kết luận: Tứ giác \(A E H F\) nội tiếp.

---

Câu b: Chứng minh \(D I = D J\)

Bước 1: Sử dụng định nghĩa song song

• Qua \(D\), kẻ đường thẳng song song với \(B E\) cắt \(B E\) tại \(I\) và cắt \(A C\) tại \(J\).
• Vì \(D I \parallel B E\), ta có: \(\angle I D J = \angle E D B\) (hai góc so le trong).

Bước 2: Chứng minh \(D I = D J\)

• Xét tam giác \(D B E\), vì \(A D\) là đường cao nên \(D\) là trung điểm của \(B E\).
• Vì \(D I \parallel B E\) và \(D I\) cắt \(A C\), theo tính chất đường trung bình trong tam giác, ta có: \(D I = D J\) (do \(D I J\) là đoạn trung bình trong tam giác \(A B E\)).

Kết luận: \(D I = D J\).