Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(n^3+2012n=n\left(n^2+2012\right)\)
- Nếu \(n=3k\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\)
- Nếu \(n=3k+1\Rightarrow n^2+2012=9k^2+6k+2013⋮3\)
\(\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\)
- Nếu \(n=3k+2\Rightarrow n^2+2012=9k^2+12k+2016⋮3\)
\(\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\) \(\forall n\in Z\) (1)
Mặt khác ta có:
\(2014\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2014^{2014}\equiv1\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow2014^{2014}+1\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow\left(2014^{2014}+1\right)⋮̸3\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Bg
C1: Ta có: n chia hết cho 11 dư 4 (n \(\inℕ\))
=> n = 11k + 4 (với k \(\inℕ\))
=> n2 = (11k)2 + 88k + 42
=> n2 = (11k)2 + 88k + 16
Vì (11k)2 \(⋮\)11, 88k \(⋮\)11 và 16 chia 11 dư 5
=> n2 chia 11 dư 5
=> ĐPCM
C2: Ta có: n = 13x + 7 (với x \(\inℕ\))
=> n2 - 10 = (13x)2 + 14.13x + 72 - 10
=> n2 - 10 = (13x)2 + 14.13x + 39
Vì (13x)2 \(⋮\)13, 14.13x \(⋮\)13 và 39 chia 13 nên n2 - 10 = (13x)2 + 14.13x + 39 \(⋮\)13
=> n2 - 10 \(⋮\)13
=> ĐPCM
Ta có :
\(A_{\left(n\right)}.B_{\left(n\right)}=\left(2^{2n+1}+2^{n+1}+1\right)\left(2^{2n+1}-2^{n+1}+1\right)\)
\(=\left[\left(2^{2n+1}+1\right)-2^{n+1}\right]\left[\left(2^{2n+1}+1\right)+2^{n+1}\right]\)
\(=\left(2^{2n+1}+1\right)^2-\left(2^{n+1}\right)^2\)
\(=\left(2^{2n+1}\right)^2+2.2^{2n+1}+1-\left(2^{n+1}\right)^2\)
\(=2^{4n+2}+2^{2n+2}+1-2^{2n+2}\)
\(=4^{2n+1}+1\) luôn chia hết cho 5\(\forall n\in N\)
Do đó \(A_{\left(n\right)}.B_{\left(n\right)}\) chia hết cho 5 hay tồn tại 1 và duy nhất \(A_{\left(n\right)}\) hoặc \(B_{\left(n\right)}\) chia hết cho 5
#)Giải :
Giả sử cả A và B đều chia hết cho 5
=> a - b chia hết cho 5
=> 22n + 1 + 22n + 1 + 1 - (22n + 1 - 22n + 1 + 1) = 2.22n + 1 chia hết cho 5
=> 22n + 1 chia hết cho 5
Nhưng vì 22n + 1 có tận cùng là 0 và 5 nên điều này không thể xảy ra
=> Phải có ít nhất A(n) hoặc B(n) không chia hết cho 5, số còn lại chia hết cho 5
=> đpcm
Đây là theo cách giải của mik nha:
lấy A.B = 2^(4n+2)+1 = 4.16^n+1
Mà 16^n luôn có đuôi bằng 6 hoặc 1 (khi n=0) với mọi n
=> 4.16^n luôn có đuôi bằng 4
=> A.B luôn có đuôi bằng 5
=> ĐPCM
Ta có:
A.B=2^(4n+2) + 1=2^(4n).2^(2) + 1=16^(n).4 + 1. Dễ dàng nhận thấy 16^n luôn có tận cùng bằng 6 => 16^(n).4 có tận cùng bằng 4=> 16^(n).4 + 1 có tận cùng bằng 5, chia hết cho 5 => Ít nhất có 1 số A hoặc B chia hết cho 5. Mặt khác A - B= 2.2^(n+1) = 2^(2n+1), ko chia hết cho 5 với mọi n => A và B ko thể đồng thời chia hết cho 5. Kết hợp => Đpcm.
1
Gọi 3 số nguyên liên tiếp là n-1 , n . n+1
(n-1)3 +n3+(n+1)3
= n3 - 3n2+3n -1 + n3 + n3 +3n2 +3n +1
= 3n3 + 6n
= 3n3- 3n + 9n
= 3 (n3-n) + 9n chia hết cho 9
2)
Có a3+b3+c3 chia hết cho 9 (1)
Giả sử a,b,c đều ko chia hết cho 3 (BS3\(\pm1\))
\(\Rightarrow\) lập phương mỗi số dạng BS9 \(\pm1\)
\(\Rightarrow a^3+b^{3^{ }}+c^3=BS9+r_1+r_2+r_3\)
Có r1,r2,r3 \(\in\left(1;-1\right)\)
Không có cách nào để r1,r2,r3 nào để tổng chia hết cho 9 trái với (1)
Vậy tồn tại 1 trong 3 số a,b,c là bội của 3
- Nếu n là số lẻ :
\(2024^n=4^n.506^n=\overline{...6}.\overline{...6}=\overline{...6}\)
\(\Rightarrow2024^n-1=\overline{.....5}⋮10^{2023}=\overline{...0}\)
- Nếu n là số chẵn :
\(2024^n=4^n.506^n=\overline{...1}.\overline{...6}=\overline{...6}\)
\(\Rightarrow2024^n-1=\overline{.....5}⋮10^{2023}=\overline{...0}\)
Vậy suy ra \(đpcm\)