Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Bài này có 2 cách giải
Cách 1:
để ý rằng \(\hept{\begin{cases}1-x^2=\left(1-x\right)\left(1+x\right)=\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)\\x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\end{cases}}\)
ta có: \(\frac{1-x^2}{x+yz}=\frac{a\left(b+c\right)}{bc}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\)
trong đó: \(a=y+z;b=z+x;c=x+y\). Tương tự, ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1-y^2}{y+zx}=\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\\\frac{1-z^2}{z+xy}=\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\end{cases}}\)
Do đó sử dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT_{\left(1\right)}=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c và x=y=z=\(\frac{1}{3}\)
Cách 2:
Sử dụng BĐT AM-GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta có:
\(x+yz\le x+\frac{\left(y+z\right)^2}{4}=x+\frac{\left(1-x\right)^2}{4}=\frac{\left(1+x\right)^2}{4}\)
Do đó: \(\frac{1-x^2}{x+yz}\ge\frac{4\left(1-x^2\right)}{\left(1+x\right)^2}=\frac{4\left(1-x\right)}{1+x}=4\left(\frac{2}{1+x}-1\right)\)
tương tự có:\(\hept{\begin{cases}\frac{1-y^2}{x+yz}\ge4\left(\frac{2}{1+y}-1\right)\\\frac{1-z^2}{z+xy}\ge4\left(\frac{2}{1+z}-1\right)\end{cases}}\)
Cộng các đánh giá trên và sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu, ta được
\(VT_{\left(1\right)}\ge8\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\right)-12\)
\(\ge8\cdot\frac{9}{3+x+y+z}+12=6\)
a) \(25^{n+1}-25^n=25^n\left(25-1\right)=25^n.4⋮25.4=100\)
b) \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)=\left(n^2-2n\right)\left(n-1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\)
Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)⋮6\)
c) \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 nên \(n^3-n⋮6\)
2. Câu hỏi của Đình Hiếu - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{\left(5x+3y\right).8.8}\le\frac{5x+3y+8+8}{3}\)
\(\sqrt[3]{\left(5y+3z\right).8.8}\le\frac{5y+3z+8+8}{3}\)
\(\sqrt[3]{\left(5z+3x\right).8.8}\le\frac{5z+3x+8+8}{3}\)
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được:
\(4N\le\frac{8\left(x+y+z\right)+48}{3}=24\)
\(\Rightarrow N\le6\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
x, y, z \(\ge\)0 là đúng đấy
và bạn có thể giải bằng BĐT Cauchy đc ko
2) \(x^4-x^2+2x+2\)
\(=x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)\)
\(=x^2\left(x-1+2\right)\left(x+1\right)\)
\(=x^2\left(x+1\right)^2\)
\(=\left(x^2+x\right)^2\)
Vậy \(x^4-x^2+2x+2\)là số chính phương với mọi số nguyên x