Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi tổng trên là A
A = 1/2.2 + 1/3.3 +....+1/n.n
A < 1/1.2 + 1/2.3 +......+ 1/(n-1)n
A < 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 +.....+1/n-1 - 1/n
A < 1 - 1/n < 1
=> A < 1 (đpcm)
Ta có: k2 > k2 - 1 = (k-1)(k+1)
⇒ 1/k2 < 1/[(k-1).(k+1)] = [1/(k-1) - 1/(k+1)]/2 (*)
Áp dụng (*), ta có:
1/22 + 1/32 + 1/42 + ... + 1/n2
< 1/22 + 1/(2.4) + 1/(3.5) + ... + 1/[(n-1).(n+1)]
= 1/22 + [1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + ... + 1/(n-1) - 1/(n+1)]/2
= 1/22 + [1/2 + 1/3 - 1/n - 1/(n+1)]/2
= 2/3 - [1/n + 1/(n+1)]/2 < 2/3 < 1
a>
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{100^2}\)=1/4+1/10000
ta có 1/4<1/2(vì 2 đề bài muốn chứng minh tổng đó nhỏ 1 thì chúng ta phải xét xem có bao nhiêu lũy thừa hoặc sht thì ta sẽ lấy 1 : cho số số hạng )
1/100^2<1/2
=>A<1
M = \(\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\right)^3+...+\left(\frac{1}{5}\right)^{^{^{ }}50}\)
=> 5M = 1 + \(\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^2+...+\left(\frac{1}{5}\right)^{49}\)
=> 5M - M = ( 1 + \(\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^2+...+\left(\frac{1}{5}\right)^{49}\)) - ( \(\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\right)^3+...+\left(\frac{1}{5}\right)^{^{^{ }}50}\))
4M = 1 - \(\left(\frac{1}{5}\right)^{50}\)
=> M = \(\frac{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{50}}{4}\)< \(\frac{1}{4}\)
M = 1 / 2.2 + 1 / 3.3 + .... + 1/n.n
M < 1/1.2 + 1/2.3 +.....+ 1/(n-1).n
M < 1 - 1/2 +1/2 -1/3 +......+ 1/n-1 - 1/n
M < 1-1/n < 1
=> M < 1 (dpcm)