\(\ge\) o, y\(\ge\) 0 thì
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

1 tháng 8 2017

a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\)

\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\cdot2\sqrt{xy}}=VP\)

Xảy ra khi \(x=y\)

b)\(BDT\Leftrightarrow x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)

Đúng với AM-GM 4 số

Xảy ra khi \(x=y=z=t\)

4 tháng 7 2018

1/ chuyển vế đổi dấu ta có: \(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\)

Mà một cái bình phương luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0 => BĐT ban đầu đúng

2/ Chứng minh x2y2(x2+y2) 2 - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

3/ ...

16 tháng 8 2021

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)( bđt cauchy ) 

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)( bđt cauchy ) 

\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{\left(x+y\right)^2}\ge2+\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}{\left(x+y\right)^2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)

16 tháng 4 2019

a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM) 

*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2  >= 0 ;  x^2  +xy +y^2 > 0

16 tháng 4 2019

mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé

25 tháng 5 2019

Áp dụng BĐT : ( a + b + c )2 \(\ge\)3 ( ab + bc + ac )

Ta có : \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge\frac{3\left(xy+y+x\right)}{xy+y+x}=3\)

đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}=A\)

ta có : \(A+\frac{1}{A}=\frac{8A}{9}+\frac{A}{9}+\frac{1}{A}\ge\frac{8.3}{9}+2\sqrt{\frac{A}{9}.\frac{1}{A}}=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)

25 tháng 5 2019

Ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

Áp dụng ta được

\(\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(x+y+xy\right)\)=> \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge3\)

Đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{x+y+xy}=t\)(\(t\ge3\))

Khi đó

\(VT=t+\frac{1}{t}=\left(\frac{t}{9}+\frac{1}{t}\right)+\frac{8}{9}t\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}t=3\\x=y=1\end{cases}}\)=> x=y=1

Lưu ý 

Nhiều người sẽ nhầm \(VT\ge2\)

Khi đó dấu bằng \(\left(x+y+1\right)^2=xy+x+y\)không xảy ra 

a: Thiếu vế phải rồi bạn

b: \(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}>=\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2>=4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2>=0\)(luôn đúng)