Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C H K G
Vẽ tam giác ABC với các chiều cao tương ứng là AH, BK, CG.
Ta có \(\Delta AHC\sim\Delta BKC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{BK}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow\left(\frac{AH}{BK}\right)^2=\left(\frac{AC}{BC}\right)^2=\frac{AC^2}{BC^2}\)
Tương tự \(\Delta AHB\sim\Delta CGB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{CG}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\left(\frac{AH}{CG}\right)^2=\left(\frac{AB}{BC}\right)^2=\frac{AB^2}{BC^2}\)
Ta có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{BK^2}+\frac{1}{CG^2}\Leftrightarrow\frac{AH^2}{BK^2}+\frac{AH^2}{CG^2}=1\Leftrightarrow\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{AC^2}{BC^2}=1\Leftrightarrow\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}=1\)
\(\Leftrightarrow AB^2+AC^2=BC^2\Leftrightarrow\) tam giác ABC vuông tại A.
Ta chứng minh được những hệ thức sau :
+)\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)( định lý sin ) \(\Rightarrow2R=\dfrac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}\)
+)\(S_{ABC}=\dfrac{\left(a+b+c\right).r}{2}\)
Now let's prove that problem:
\(VT=\dfrac{h_a^2}{bc}+\dfrac{h_b^2}{ac}+\dfrac{h_c^2}{ab}=2S_{ABC}.\dfrac{h_a+h_b+h_c}{abc}=r.\left(a+b+c\right)\dfrac{h_a+h_b+h_c}{abc}\)
\(VP=\dfrac{9r}{2R}=\dfrac{9r\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)}{a+b+c}\)
Do đó chỉ cần chứng minh \(\left(h_a+h_b+h_c\right)\left(a+b+c\right)^2\ge9abc\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)\)
b c a h A B C
Để ý rằng \(h_a+h_b+h_c=c.\sin B+a.\sin C+b.\sin A\)
Áp dụng BĐT chebyshev:
\(c.\sin B+a.\sin C+b.\sin A\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)\)
Do đó \(VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{3}.\left(\sum\sin A\right)\ge VF\)(đúng theo AM-GM
)
Dấu = xảy ra khi a=b=c và BĐT chebyshev này chỉ đúng khi
\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge b\ge c\\\sin A\ge\sin B\ge\sin C\end{matrix}\right.\),điều này luôn đúng
ê Quỳnh đây
ta có Pt <=> \(\sqrt{5x^2+14x+9}=5\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-x-20}\)
sau đó m bình phương 2 vế rồi phân tích chuyển vế để nó ra cái này
6(x+4)+4(x+1)(x-5)=\(10\sqrt{\left(x+1\right)\left(x-5\right)\left(x+4\right)}\)
đặt \(\sqrt{\left(x+1\right)\left(x-5\right)}=a;\sqrt{x+4}=b\)
ta có pt <=> \(6b^2+4a^2=10ab\)
đến đây coi như xong