\(\dfrac{ha^2}{bc}++\dfrac{hb^2}{ac}...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

24 tháng 10 2017

Ta chứng minh được những hệ thức sau :

+)\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)( định lý sin ) \(\Rightarrow2R=\dfrac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}\)

+)\(S_{ABC}=\dfrac{\left(a+b+c\right).r}{2}\)

Now let's prove that problem:

\(VT=\dfrac{h_a^2}{bc}+\dfrac{h_b^2}{ac}+\dfrac{h_c^2}{ab}=2S_{ABC}.\dfrac{h_a+h_b+h_c}{abc}=r.\left(a+b+c\right)\dfrac{h_a+h_b+h_c}{abc}\)

\(VP=\dfrac{9r}{2R}=\dfrac{9r\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)}{a+b+c}\)

Do đó chỉ cần chứng minh \(\left(h_a+h_b+h_c\right)\left(a+b+c\right)^2\ge9abc\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)\)

b c a h A B C

Để ý rằng \(h_a+h_b+h_c=c.\sin B+a.\sin C+b.\sin A\)

Áp dụng BĐT chebyshev:

\(c.\sin B+a.\sin C+b.\sin A\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)\)

Do đó \(VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{3}.\left(\sum\sin A\right)\ge VF\)(đúng theo AM-GM

)

Dấu = xảy ra khi a=b=c và BĐT chebyshev này chỉ đúng khi

\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge b\ge c\\\sin A\ge\sin B\ge\sin C\end{matrix}\right.\),điều này luôn đúng

24 tháng 10 2017

ê Quỳnh đây

ta có Pt <=> \(\sqrt{5x^2+14x+9}=5\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-x-20}\)

sau đó m bình phương 2 vế rồi phân tích chuyển vế để nó ra cái này

6(x+4)+4(x+1)(x-5)=\(10\sqrt{\left(x+1\right)\left(x-5\right)\left(x+4\right)}\)

đặt \(\sqrt{\left(x+1\right)\left(x-5\right)}=a;\sqrt{x+4}=b\)

ta có pt <=> \(6b^2+4a^2=10ab\)

đến đây coi như xong

8 tháng 1 2018

A B C H K G

Vẽ tam giác ABC với các chiều cao tương ứng là AH, BK, CG.

Ta có \(\Delta AHC\sim\Delta BKC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{BK}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow\left(\frac{AH}{BK}\right)^2=\left(\frac{AC}{BC}\right)^2=\frac{AC^2}{BC^2}\)

Tương tự \(\Delta AHB\sim\Delta CGB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{CG}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\left(\frac{AH}{CG}\right)^2=\left(\frac{AB}{BC}\right)^2=\frac{AB^2}{BC^2}\)

Ta có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{BK^2}+\frac{1}{CG^2}\Leftrightarrow\frac{AH^2}{BK^2}+\frac{AH^2}{CG^2}=1\Leftrightarrow\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{AC^2}{BC^2}=1\Leftrightarrow\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}=1\)

\(\Leftrightarrow AB^2+AC^2=BC^2\Leftrightarrow\) tam giác ABC vuông tại A.

14 tháng 6 2018

hahaleuleu