Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)
\(=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]+1\)
\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+2n+n+2\right)+1\)
Đặt \(n^2+3=t\)
=> \(A=t\left(t+2\right)+1\)
\(=t^2+2t+1\)
\(=\left(t+1\right)^2\)
=> A là số chính phương
Vậy với mọi số tự nhiên n thì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\) là số chính phương ( đpcm )
Đặt B = 10n + 10n-1 + ...+ 10 + 1
=> 10.B = 10n+1 + 10n + ...+ 102 + 10
=> 10B - B = 10n+1 -1
=> 9B = 10n+1 - 1
Ta có: 9A = 9B. (10n+1 + 5) + 9 = (10n+1 -1).(10n+1 + 5) + 9
9A = (10n+1)2 + 5.10n+1 - 10n+1 - 5 + 9 = (10n+1)2 + 4.10n+1 + 4
= (10n+1 + 2)2
=> A = \(\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\)
Vì (10n+1 + 2 ) chia hết cho 3 nên \(\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\) là số chính phương
=> A là số chính phương
Ta có công thức: an-1=(a-1)(an-1+an-2+...+a+1)
Từ đó suy ra:
A=\(\frac{10^{n+1}-1}{9}\left(10^{n+1}+5\right)+1\)
Đặt 10n+1=B => A=\(\frac{\left(B-1\right)}{9}\left(B+5\right)+1\)
=> A=\(\frac{\left(B-1\right)\left(B+5\right)+9}{9}\)
= \(\frac{B^2+4B+4}{9}\)
= \(\left(\frac{B+2}{3}\right)^2\)Hay \(\left(\frac{100...02_{\left\{n\right\}}}{3}\right)^2\)
= 333...342
Vậy A là số chính phương. (1)
Gỉa sử A=m3, m thuộc N
=> 333...34{n số 3} = m3
=> m3 chia hết cho 2
=> m chia hết cho 2
=> m3 chia hết cho 8 Hay (2.1666..67{n-1 số 6} )2 chia hết cho 8
=>4.1666..672{n-1 số 6} chia hết cho 8
=>1666..672 chia hết cho 2 (Vô Lý)
Vậy A ko thể là lập phương của 1 số tự nhiên. (2)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
1.
Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9)
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1).
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1).
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)
đúng cái nhe bạn
2.
Gọi d là ƯCLN (16n+3; 12n+2)
=> 16n+3 chia hết cho d; 12n+2 chia hết cho d
Nên 3. (16n+3) chia hết cho d; 4. (12n+2) chia hết cho d
=> 48n+9 chia hết cho d; 48n+8 chia hết cho d
=> (48n+9)-(48n+8) chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d \(\in\) {1; -1}
Vậy phân số \(\frac{16n+3}{12n+2}\) là phân số tối giản.
\(n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\)
do n(n+1) là số chẵn nên n(n+1)+1 là số lẻ nên không chia hết cho 4
n^3-n +2=n^2.n-n+2=n(n^2-1)+2=n(n+1)(n-1)+2
Vì n;n+1;n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp => có ít nhất 1 số trong 3 số trên chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3
=> n(n+1)(n-1) chia hết cho 2 và 3 mà ƯCLN(2;3)=1
=> n(n+1)(n-1) chia hết cho 6 ( chia hết cho 2.3)
mà 2 không chia hết cho 6 => n(n+1)(n-1)+2 không chia hết cho 6
Vậy: với mọi số tự nhiên n thì n^3-n+2 không chia hết cho 6(đpcm)
ỦNG HỘ MIK NHÉ !
Ta có :
\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(S=\frac{4-1}{4}+\frac{9-1}{9}+\frac{16-1}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(S=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(S=\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{3^2}{3^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{4^2}{4^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}\)
\(S=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+...+1-\frac{1}{n^2}\)
\(S=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)
Vì từ \(2\) đến \(n\) có \(n-2+1=n-1\) số \(1\) nên :
\(S=n-1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< n-1\) \(\left(1\right)\)
Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\) ta lại có :
\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(A< 1-\frac{1}{n}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(S=n-1-A>n-1-1=n-2\)
\(\Rightarrow\)\(S>n-2\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(n-2< S< n-1\)
Vì \(n>3\) nên \(S\) không là số tự nhiên
Vậy \(S\) không là số tự nhiên
Chúc bạn học tốt ~
A = 1 + 2.1 + 3.2.1 + 4.3.2.1 + 5! + ...+ n! = 33 + 5! + ...+ n!
Nhận xét: Từ 5! trở đi mỗi số hạng đều tận cùng là 0 (Vì chứa 5.2 = 10) => A có tận cùng là 3
=> A không thể là số chính phương