Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
giải câu c nha
xét hiệu:A= \(a^3+b^3+c^3-a-b-c=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)
Ta có:a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1) chia hết cho 6
tương tự :b3-b chia hết cho 6 và c3-c chia hết cho 6
\(\Rightarrow\)A chia hết cho 6
=> a3+b3+c3 -a-b-c chia hết cho 6
mà a3+b3+c3chia hết cho 6 nên a+b+c chia hết cho 6
k cho tớ xog tớ giải hai câu còn lại cho nha
a/ n3 - n = n(n+1)(n-1) đây là ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6
\(\frac{\Sigma_{cyc}a^3\left(b-c\right)}{\Sigma_{cyc}a^2\left(b-c\right)}=\frac{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
1) Áp dụng BĐT bun-hi-a-cốp-xki ta có:
\(\left(a+d\right)\left(b+c\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\)( vì a,b,c,d dương )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
*)Giả sử với \(n=2\) đặt \(\hept{\begin{cases}2x=b+c-a\\2y=a-b+c\\2z=a+b-c\end{cases}\left(x,y,z>0\right)}\)
\(\Rightarrow a=y+z;b=x+z;c=x+y\)
BĐT cần chứng minh là \(xy^3+yz^3+xz^3-xyz\left(x+y+z\right)\ge0\)
Tự C/M cái này bằng AM-GM nhé
*)Giả sử đúng với n (tức là dạng t/q). KO mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)
Khi đó ta có: \(b^nc(b-c)\ge-a^nb(a-b)-c^na(c-a)\)
\(\Rightarrow b^{n+1}c(b-c)\ge-a^nb^2(a-b)-c^nab(c-a)\)
Nên \(a^{n+1}b(a-b)+b^{n+1}c(b-c)+c^{n+1}a(c-a)\)
\(\ge a^{n+1}b(a-b)-a^nb^2(a-b)-c^nab(c-a)+c^{n+1}a(c-a)\)
\(=a^nb(a-b)+b^nc(b-c)+c^na(c-a)\ge0\)
Theo nguyên lí quy nạp thì có ĐPCM
Ta có \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)
\(x^3-y^3=\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)\)
Áp dụng, ta có \(\left(a+b+c\right)^3-\left(a+b-c\right)^3=\left(a+b+c-a-b+c\right)^3+3\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c-a-b+c\right)=\left(2c\right)^3+3\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right).2c=\left(2c\right)^3+6c\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(1\right)\)\(\left(b+c-a\right)^3+\left(a+c-b\right)^3=\left(b+c-a+a+c-b\right)^3-3\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a+a+c-b\right)=\left(2c\right)^3-3\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right).2c=\left(2c\right)^3-6c\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(2\right)\)Từ (1),(2)\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3-\left(a+b-c\right)^3-\left(b+c-a\right)^3-\left(a+c-b\right)^3=\left(2c\right)^3+6c\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)-\left[\left(2c\right)^3-6c\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\right]=\left(2c\right)^3+6c\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)-\left(2c\right)^3+6c\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)=6c\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)+6c\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)=6c\left(a^2+2ab+b^2-c^2+ab+bc-b^2+ac+c^2-bc-a^2-ac+ab\right)=6c\left(4ab\right)=24abc\)Vậy \(\left(a+b+c\right)^3-\left(a+b-c\right)^3-\left(b+c-a\right)^3-\left(a+c-b\right)^3=24abc\)(3)
Ta có a,b,c sẽ có một số lẻ và 2 số chẵn nên \(abc⋮4\Rightarrow24abc⋮96\left(4\right)\)
Từ (3),(4)\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3-\left(a+b-c\right)^3-\left(b+c-a\right)^3-\left(a+c-b\right)^3⋮96\)
tớ nghĩ là theo nguyên lí ''thỏ'' và''chuồng''