TL
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LC
6 tháng 5 2016
Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2.\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2.\sqrt{\frac{a^2}{4}}\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2.\frac{a}{2}\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a\)
Tương tự, ta có:
\(\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge b\)
\(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a+b+c\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\left(\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}+\frac{a+b}{4}\right)\ge a+b+c\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{b+c+c+a+a+b}{4}\ge a+b+c\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{2.\left(a+b+c\right)}{2}\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{2.\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{a+b+c}{2}\)
=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b+c}{4}=>4.a^2=\left(b+c\right)^2=>2a=b+c=>3a=a+b+c\)
\(\frac{b^2}{c+a}=\frac{c+a}{4}=>4.b^2=\left(c+a\right)^2=>2b=c+a=>3b=a+b+c\)
\(\frac{c^2}{a+b}=\frac{a+b}{4}=>4.c^2=\left(a+b\right)^2=>2c=a+b=>3c=a+b+c\)
=>3a=3b=3c=a+b+c
=>a=b=c
=>ĐPCM
NL
2
15 tháng 5 2016
Ta có ( a - b )2 >= 0
=> a2 + b2 >= 2ab
=> 2 ( a2 + b2 ) >= a2 + b2 + 2ab
=> 2 ( a2 + b2 ) >= ( a + b )2 >= 12 ( gt )
=> 2 ( a2 + b2 ) >= 1
=> a2 + b2 >= 1/2
Chúc bạn học tốt môn toán nhé
DT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 9 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a^2+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{a^2.\frac{1}{4}}=a$
$b^2+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{b^2.\frac{1}{4}}=b$
$\Rightarrow a^2+b^2+\frac{1}{2}\geq a+b\geq 1$
$\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{1}{2}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$
TV
2
15 tháng 5 2019
Đặt \(A=a^2+b^2\)
\(\Rightarrow2A=\left(a^2+b^2\right)\left(1+1\right)\)
Theo bunhiacopski, ta có:
\(2A\ge\left(a+b\right)^2\)
Mà \(a+b=1\)
\(\Rightarrow2A\ge1\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}\)
Vậy \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
T
15 tháng 5 2019
Cách khác: Vói mọi a; b ta luôn có: \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}\ge0\Leftrightarrow a^2\ge a-\frac{1}{4}\)
Tương tự với b,ta cũng có: \(b^2\ge b-\frac{1}{4}\).Cộng theo vế hai BĐT trên:
\(a^2+b^2\ge\left(a+b\right)-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
TV
8
2 tháng 5 2016
Với mọi a, b ta có :
( a - b) 2 >= 0
<=> a2 - 2ab + b2 >= 0
<=> a2 + b2 >=2ab
<=> 2 ( a2 + b2 ) >= a2 +2ab + b2
<=> 2 (a2 + b2 ) >= ( a + b )2 mà a+b=1 nên 2 ( a2 + b2 ) >=1
<=> a2 + b2 >= 1/2
Dấu “ = " xảy ra khi và chỉ khi : a=b mà a+b=1 nên a=b=1/2
VN
2 tháng 5 2016
Với mọi a, b ta có :
( a - b) 2 >= 0
<=> a2 - 2ab + b2 >= 0
<=> a2 + b2 >=2ab
<=> 2 ( a2 + b2 ) >= a2 +2ab + b2
<=> 2 (a2 + b2 ) >= ( a + b )2 mà a+b=1 nên 2 ( a2 + b2 ) >=1
<=> a2 + b2 >= 1/2
Dấu “ = " xảy ra khi và chỉ khi : a=b mà a+b=1 nên a=b=1/2
29 tháng 6 2015
1) \(x^3-x^2+2x=x\left(x^2-x+2\right)\)bạn xem lại đề xem có sai không nha. chỗ này sau khi thu gọn và cho x ra ngoài thì phải có dạng: \(x\left(x^2-3x+2\right)=x\left(x^2-2x-x+2\right)=x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\)hoặc \(x\left(x^2+3x+2\right)=x\left(x^2+2x+x+2\right)=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)
nó là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp => trong đó phỉa có 1 số chia hết cho 2, có một số chia hết cho 3. vì 3,2 ngtố cùng nhau =>tích của 3 số ltiếp sẽ chia hết cho 3.2=6 => chia hết cho 6 với mọi x
2) \(a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)=a^2-\left(b-c\right)^2=\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\)
mình làm đến đây thì k biết giải thích sao nữa :( thôi cứ tick đúng cho mình nha
ML
29 tháng 6 2015
Câu 1 Sai đề. Chỉ cần thay x = 1,2,3 ta thấy ngay sai
Câu 2 sai đề. chứng minh như sau;
Thay a,b,c là số dài 3 cạnh của 1 tam giác đều có cạnh 0,5 (nhỏ hơn 1 là đủ)
\(a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)>c\)\(\Leftrightarrow a^2-\left(b-c\right)^2>c\)
Với a = b = c = 0,5 thì điều trên tương đương \(0,5^2-\left(0,5-0,5\right)^2>0,5\)
\(\Leftrightarrow0,25>0,5\) => vô lí
20 tháng 6 2018
a \(2a>b;2a>0\Rightarrow2a+2a>b+0\Rightarrow4a>b\)
b \(4a^2+b^2=5ab\Rightarrow4a^2+b^2-5ab=0\Rightarrow\left(4a^2-4ab\right)-\left(ab-b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow4a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)=0\Rightarrow\left(4a-b\right)\left(a-b\right)=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}4a-b=0\Rightarrow4a=b\\a-b=0\Rightarrow a=b\end{cases}}\)
áp dụng bất đẳng thức buinhia copxki
\(\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(1^2+1^2\right)\ge\left(a\cdot1+b\cdot1\right)^2\)
\(\left(a^2+b^2\right)\cdot2\ge\left(a+b\right)^2=1\)
\(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
nếu bạn ko dùng được bunhia thì dùng cách này nhé mỗi tội hơn dài chút
có a+b=1\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\Rightarrow a^2+b^2+2ab=1\)1 mặt khác ta có \(a^2+b^2\ge2ab\forall ab\)dấu''=''xảy ra khi a=b (\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\))nên \(1=a^2+b^2+2ab\le a^2+b^2+a^2+b^2=2\left(â^2+b^2\right)\)\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
đẳng thức xảy ra khi a=b