Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(1\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{1}{\sqrt{z}}-\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}-\sqrt{z}}{\sqrt{xy}}\\\sqrt{y}-\sqrt{z}=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{z}}=\frac{\sqrt{z}-\sqrt{x}}{\sqrt{xz}}\\\sqrt{z}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{y}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\end{cases}\left(2\right)}\)
\(\left(2\right)\Rightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right).\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right).\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)=\frac{\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right).\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right).\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{zyzxxy}}\left(3\right)\)\(Từ\left(3\right)\)Ta sẽ chứng minh được rằng \(\orbr{\begin{cases}x=y=z\\x.y.z=1\end{cases}}\)
Đầu tiên CM BDT :
\(1+x^3+y^3\ge xy"x+y+z"\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3\ge xy"x+y"\)" do \(xyz=1\)"
\(\Leftrightarrow"x+y""x^2+y^2-xy"-xy"x+y"\ge0\)
\(\Leftrightarrow"x+y""x-y"^2\ge0\)
BDT luôn đúng theo gt
\(\Rightarrow\sqrt{"1+x^3+y^3"}\ge\sqrt{xy"x+y+z"}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{"1+x^3+y^3}{xy}}\ge\sqrt{\frac{"x+y+z"}{xz}}\)
Tương tự
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{"1+z^3+y^3}{zy}}\ge\sqrt{\frac{"x+y+z"}{zy}}\)
\(\sqrt{\frac{"1+x^3+y^3"}{xz}}\ge\sqrt{\frac{"x+y+z"}{xz}}\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{"x+y+z"}.\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\)
AD BDT Cauchy cho các số > 0
\(x+y+z\ge3\). \(\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}=3\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}.3=3\sqrt{3}=VP\)
\(\Rightarrow VT\ge VP\)
\(\Rightarrow DPCM\)
Vậy Dấu \(= khi x=y=z=1\)
P/s: Thay dấu noặc kép thành ngọc đơn nha, Ko chắc đâu
1/ Sửa đề: \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)
Với mọi x, y, z ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
Do đó dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = y = z
3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>x>2;y>1
Khi đó Pt ⇔36√x−2 +4√x−2+4√y−1 +√y−1=28
theo BĐT Cô si ta có 36√x−2 +4√x−2≥2.√36√x−2 .4√x−2=24
và 4√y−1 +√y−1≥2√4√y−1 .√y−1=4
Pt đã cho có VT>= 28 Dấu "=" xảy ra ⇔
36√x−2 =4√x−2⇔x=11
và 4√y−1 =√y−1⇔y=5
Đối chiếu với ĐK thì x=11; y=5 là nghiệm của PT
\(\sqrt{z}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\Rightarrow z=x+y+2\sqrt{xy}\Rightarrow x+y-z=-2\sqrt{xy}\)
\(\sqrt{y}=\sqrt{z}-\sqrt{x}\Rightarrow y=x+z-2\sqrt{zx}\Rightarrow z+x-y=2\sqrt{zx}\)
\(\sqrt{x}=\sqrt{z}-\sqrt{y}\Rightarrow x=y+z-2\sqrt{yz}\Rightarrow y+z-x=2\sqrt{yz}\)
\(\frac{1}{y+z-x}+\frac{1}{z+x-y}+\frac{1}{x+y-z}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{zx}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}-\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}=0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm \(\sqrt{x}\)và \(\sqrt{y}\)có
\(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}\ge\sqrt{\sqrt{xy}}\)
Mà \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\sqrt{\sqrt{xy}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\ge\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt{xy}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow-3\sqrt{xy}\ge-\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow1-3\sqrt{xy}\ge\frac{1}{4}\) ( 1 )
Vì \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=1\)
Thay \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=1\) vào ( 1 ) ta có
\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-3\sqrt{xy}\ge\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}-3\sqrt{xy}\ge\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow x-\sqrt{xy}+y\ge\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)\ge\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{x}-y\sqrt{y}\ge\frac{1}{4}\) ( đpcm )