Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có: \(\left(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\right)^2=1^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2y^2+x^2+y^2+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=0\left(đpcm\right)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacốpski, ta có:
\(\left|x-y\right|=\left|x.1+2y.\left(-\frac{1}{2}\right)\right|\le\sqrt{\left(x^2+4y^2\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)}=\frac{\sqrt{5}}{2}\) vì \(x^2+4y^2=1\)
Theo Bunhiacopski ta luôn có:
\(\left(x-y\right)^2=\left[1\cdot x+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot2y\right]^2\le\left(1^2+\frac{1}{4}\right)\left(x^2+4y^2\right)=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow\left|x-y\right|\le\frac{\sqrt{5}}{2}\left(đpcm\right)\)
a) Ta có : \(\left(\sqrt{\sqrt{x^2+x+1}}\right)^2\) ; \(\left(\sqrt{\sqrt{x^2-x+1}}\right)^2\)
ko âm nên áp dụng bđt \(a^2\)+\(b^2\)\(\ge\)2ab
\(\left(\sqrt{\sqrt{x^2+x+1}}\right)^2\)+\(\left(\sqrt{\sqrt{x^2-x+1}}\right)^2\)\(\ge\)\(2\left(\sqrt[4]{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x^2+x+1}\)+\(\sqrt{x^2-x+1}\)\(\ge\)\(2\left(\sqrt[4]{x^4+x+1}\right)\)\(\ge\)\(2\)\(\forall x\)
Ta có : \(xy\left(x+y\right)^2\le\frac{1}{64}\)\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{\frac{1}{64}}\)
\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{8}\)
ta cần c/m \(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{8}\)
Thật vậy, ta có
Áp dụng BĐT : \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b
\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)=\frac{1}{2}.2\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+2\sqrt{xy}+y\right)^2}{4}=\frac{\left(\sqrt{x}^2+2\sqrt{xy}+\sqrt{y}^2\right)^2}{4}.\frac{1}{2}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^4}{8}=\frac{1}{8}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{4}\)
Ta có (x-y)^2>=0
suy ra x^2+y^2>=2xy
Suy ra 2(x^2+y^2)>=(x+y)^2
Suy ra 2>=(x+y)^2
suy ra ĐPCM
suy ra thứ 4 hình như sai pải hk bạn