Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(x=\sqrt{2}-1\)
b/ Giả sử x là số vô tỷ
\(x=\frac{m}{n}\left[\left(m,n\right)=1\right]\)
\(\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\frac{m}{n}-\frac{n}{m}=\frac{m^2-n^2}{mn}\)
Vì \(x-\frac{1}{x}\)là số nguyên \(\Rightarrow m^2-n^2⋮m\)
\(\Rightarrow n^2⋮m\)
Mà m, n nguyên tố cùng nhau nên
\(\Rightarrow n=1;-1\)
Tương tự ta cũng có: \(m=1;-1\)
\(\Rightarrow x=1;-1\) trái giả thuyết
\(\Rightarrow x\)là số vô tỷ
Ta có:
\(2x-\left(x-\frac{1}{x}\right)=x+\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}\)là số vô tỷ
Ta có:
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+4\) là số nguyên
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\) là số hữu tỉ và \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n+1}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\)là số vô tỉ.
Giả sử x là số hữu tỷ thì ta có
\(x=\frac{m}{n}\left(\left(m,n\right)=1\right)\)
\(\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\frac{m}{n}-\frac{n}{m}=\frac{m^2-n^2}{mn}\)
Vì \(x-\frac{1}{x}\)là số nguyên nên m2 - n2 \(⋮\)m
\(\Rightarrow\)n2 \(⋮\)m
Mà n,m nguyên tố cùng nhau nên
m = \(\pm\)1
Tương tự ta cũng có
n =\(\pm\)1
\(\Rightarrow\)x = \(\pm\)1
Trái giả thuyết.
Vậy x phải là số vô tỷ.
Ta có: \(2x-\left(x-\frac{1}{x}\right)=x+\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}\)là số vô tỷ.
Ta có: \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+4\)nên là số nguyên
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\)là số hữu tỷ.
Mà \(x+\frac{1}{x}\)là số vô tỷ nên
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n+1}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2n}\)
là số vô tỷ
Câu 2: Nhân cả hai vế của phương trình với 4 , ta có:
\(4x^2+4y^2-4x-4x=32\Leftrightarrow\left(4x-4x+1\right)+\left(4y^2-4y+1\right)=34\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2+\left(2y-1\right)^2=34\)
Ta thấy 34 = 52 + 32 nên ta có bảng:
| 2x-1 | 5 | -5 | 3 | -3 |
| x | 3 | -2 | 2 | -1 |
| 2y-1 | 5 | -5 | 3 | -3 |
| y | 3 | -3 | 2 | -1 |
Vậy các cặp nghiệm nguyên thỏa mãn là (5;3) , (5;-3) , (-5;3) , (-5;-3) , (3; 5), (3;-5) , (-3; 5), (-3;-5)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x+2y}=\frac{9}{x+2y}\)(1)
Từ GT x + 2y ≤ 3z => \(\frac{1}{x+2y}\ge\frac{1}{3z}\)<=> \(\frac{9}{x+2y}\ge\frac{3}{z}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge\frac{9}{x+2y}\ge\frac{3}{z}\)=> \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge\frac{3}{z}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z=1
1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)
\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)
2.
a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
b) Lần trước mk giải rồi nhá
3.
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)
\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Điều kiện \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\end{cases}}\)
\(1+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\) (\(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1>0\))
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}-1\) (\(\sqrt{xy}-1>0\))
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=\left(\sqrt{xy}-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{xy}=x+y-xy-1\)
Vì x, y nguyên nên \(\sqrt{xy}\) cũng phải nguyên
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}-1\) nguyên (1)
Ta lại có:
\(x-y=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}\) nguyên (2)
Lấy (1) + (2) và (1) - (2) ta có:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{x}-\sqrt{y}=2\sqrt{x}\\\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\sqrt{y}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x},\sqrt{y}\) là số nguyên
Vậy x, y là bình phương đúng của 1 số nguyên.
(phương pháp phản chứng )
giả sử x + \(\dfrac{1}{x}\) ϵ Q ⇔ x + \(\dfrac{1}{x}\) = \(\dfrac{a}{b}\) (a,b ϵN, b#0)
⇔ x = \(\dfrac{a}{b}\) - \(\dfrac{1}{x}\)⇔ x - \(\dfrac{1}{x}\) = \(\dfrac{a}{b}\) - \(\dfrac{1}{x}\) - \(\dfrac{1}{x}\) ⇔ x - \(\dfrac{1}{x}\) = \(\dfrac{a}{b}\)- \(\dfrac{2}{x}\)
nếu x = 2 ta có x - \(\dfrac{1}{x}\) = 2 - \(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{3}{4}\) (loại vì \(\dfrac{3}{4}\) không thuộc Z)
nếu \(\dfrac{a}{b}\)= \(\dfrac{2}{x}\) ⇔ x - \(\dfrac{1}{x}\) = 0 ⇔ x = +- 1 (loại) ⇔ \(\dfrac{a}{b}\) # \(\dfrac{2}{x}\)
vậy với x # +-1
⇔ x - \(\dfrac{1}{x}\)= \(\dfrac{a}{b}\) - \(\dfrac{2}{x}\) \(\notin\) Z ⇔ x + \(\dfrac{1}{x}\) \(\notin\) Q ⇔ x + \(\dfrac{1}{x}\) \(\in\) I (đpcm)