Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A = 1 + 2.1 + 3.2.1 + 4.3.2.1 + 5! + ...+ n! = 33 + 5! + ...+ n!
Nhận xét: Từ 5! trở đi mỗi số hạng đều tận cùng là 0 (Vì chứa 5.2 = 10) => A có tận cùng là 3
=> A không thể là số chính phương
Đặt B = 10n + 10n-1 + ...+ 10 + 1
=> 10.B = 10n+1 + 10n + ...+ 102 + 10
=> 10B - B = 10n+1 -1
=> 9B = 10n+1 - 1
Ta có: 9A = 9B. (10n+1 + 5) + 9 = (10n+1 -1).(10n+1 + 5) + 9
9A = (10n+1)2 + 5.10n+1 - 10n+1 - 5 + 9 = (10n+1)2 + 4.10n+1 + 4
= (10n+1 + 2)2
=> A = \(\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\)
Vì (10n+1 + 2 ) chia hết cho 3 nên \(\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\) là số chính phương
=> A là số chính phương
Ta có công thức: an-1=(a-1)(an-1+an-2+...+a+1)
Từ đó suy ra:
A=\(\frac{10^{n+1}-1}{9}\left(10^{n+1}+5\right)+1\)
Đặt 10n+1=B => A=\(\frac{\left(B-1\right)}{9}\left(B+5\right)+1\)
=> A=\(\frac{\left(B-1\right)\left(B+5\right)+9}{9}\)
= \(\frac{B^2+4B+4}{9}\)
= \(\left(\frac{B+2}{3}\right)^2\)Hay \(\left(\frac{100...02_{\left\{n\right\}}}{3}\right)^2\)
= 333...342
Vậy A là số chính phương. (1)
Gỉa sử A=m3, m thuộc N
=> 333...34{n số 3} = m3
=> m3 chia hết cho 2
=> m chia hết cho 2
=> m3 chia hết cho 8 Hay (2.1666..67{n-1 số 6} )2 chia hết cho 8
=>4.1666..672{n-1 số 6} chia hết cho 8
=>1666..672 chia hết cho 2 (Vô Lý)
Vậy A ko thể là lập phương của 1 số tự nhiên. (2)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
Ta có : \(\sqrt{a^2}=a\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}\ne a\)
\(\sqrt{a}\)vô tỉ
Trả lời:
+ Giả sử \(\sqrt{a}\notin I\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}\inℚ\)
\(\Rightarrow a=\frac{m}{n}\)với\(\left(m,n\right)=1;m,n\inℕ\)
+ Vì a không là số chính phương
\(\Rightarrow\sqrt{a}\notinℕ\)
\(\Rightarrow\frac{m}{n}\notinℕ\)
\(\Rightarrow n>1\)
+ Vì \(\sqrt{a}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow a=\frac{m^2}{n^2}\)
\(\Rightarrow m^2=an^2\)
+ Vì \(n>1\)
\(\Rightarrow\)Giả sử n có ước nguyên tố là p
Mà\(n\inℕ\)
Mà\(m^2=an^2\)
\(\Rightarrow m⋮p\)
\(\Rightarrow\)m,n có ƯC là p (Trái với giả thiết (m,n) = 1)
\(\Rightarrow\)Giả sử \(\sqrt{a}\notin I\)sai
\(\Rightarrow\sqrt{a}\in I\)
Vậy nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì\(\sqrt{a}\)là số vô tỉ.
Hok tốt!
Good girl