Question

[Sắc màu]

Chứng minh rằng nếu một hình thang có tổng 2 góc kề một đáy bằng 90^o thì đoạn thẳng nối trung điểm 2 đáy bằng nửa hiệu hai đáy.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C O H K M D P Q

Lấy P và Q lần lượt là trung điểm của OB và OC.

Xét \(\Delta\)BOC có: D là trung điểm của BC; P là trung điểm của OB => DP là đường trung bình \(\Delta\)BOC

=> DP // OC và DP = 1/2.OC. Mà Q là trung điểm OC => DP // OQ và DP = OQ

Xét tứ giác DPOQ có: DP // OQ; DP = OQ => Tứ giác DPOQ là hình bình hành

=> ^DPO = ^DQO (1)

Xét \(\Delta\)BHO: ^OHB = 90⁰; P là trung điểm OB => HP = OP = BP

Lại có: Tứ giác DPOQ là hbh (cmt) => OP = DQ => HP = DQ

Tương tự ta cũng có: DP = KQ

Mặt khác: HP = BP (cmt) => \(\Delta\)BHP cân tại P

Xét \(\Delta\)BHP cân đỉnh P có góc ngoài là ^HPO => ^HPO = 2.^HBP = 2.^ABO (2)

Tương tự: ^KQO = 2.^ACO (3)

Từ (2) và (3) kết hợp với ^ABO = ^ACO (gt) => ^HPO = ^KQO (4)

Từ (1) và (4) suy ra ^DPO + ^HPO = ^DQO + ^KQO => ^HPD = ^DQK

Xét \(\Delta\)PHD và \(\Delta\)QDK có: DP = KQ; HP = DQ; ^HPD = ^DQK => \(\Delta\)HPD = \(\Delta\)QDK (c.g.c)

=> HD = DK (2 cạnh tương ứng) => \(\Delta\)HDK cân ở D

Xét \(\Delta\)HDK cân đỉnh D có M là trung điểm cạnh HK => DM vuông góc HK (đpcm).

Answer 2

[Tử Tinh]

@Nguyễn Tất Đạt hình thang nào ạ?