Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(f\left(x\right)=\left(ax+b\right)^{-1}\)
\(f'\left(x\right)=-a\left(ax+b\right)^{-2}\)
\(f"\left(x\right)=1.2a^2\left(ax+b\right)^{-3}\)
\(f'''\left(x\right)=-1.2.3a^2\left(ax+b\right)^{-4}\)
Dự đoán :
\(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\left(-1\right)^nn!a^n\left(ax+b\right)^{-\left(n+1\right)}\) (1)
(1) được chứng minh bằng phương pháp quy nạp sau :
- (1) đã đúng với n = 1,2,3
- Giả sử (1) đã đúng đến n. Ta sẽ chứng minh :
\(f^{\left(n+1\right)}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n+1}\left(n+1\right)!a^{n+1}\left(ax+b\right)^{-\left(n+2\right)}\) (2)
Thật vậy,
\(f^{\left(n+1\right)}\left(x\right)=\left(f^{\left(n\right)}\left(x\right)\right)'=\left[\left(-1\right)n!a^n\left(ax+b\right)^{-\left(n+1\right)}\right]'\)
\(=\left(-1\right)^nn!a^n\left[-\left(n+1\right)\right]a\left(ax+b\right)^{-\left(n+2\right)}\)
\(=\left(-1\right)^{n+1}\left(n+1\right)!a^{n+1}\left(ax+b\right)^{-\left(n+2\right)}\)
Vậy (2) đúng, tức (1) đúng
Tóm lại, ta có \(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\left(-1\right)n!\frac{a^n}{\left(ax+b\right)^{n+1}}\)
Ta xét bảng sau đây :
x 1 2 x-1 2 x-2 f(x) 1-x 4-2x 5-3x x-1 4-2x 3-x x-1 2x-4 3x-5
Ta có ngay với \(x\ne1\) và \(x\ne2\)
\(f'\left(x\right)=\begin{cases}-3;x< 1\\-1;1< x< 2\\3;x>2\end{cases}\)
Bây giờ xét tại \(x=1\), ta có
\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{3-\left(1+\Delta x\right)-2}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1\)
\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}\ne\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{5-3\left(1+\Delta x\right)-2}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{-3\Delta x}{\Delta x}=-3\)
Như vậy \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}\ne\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}\)
Nghĩa là không tồn tại đạo hàm của \(f\left(x\right)\) tại \(x=1\)
Tương tự không tồn tại đạo hàm của \(f\left(x\right)\) tại \(x=2\)
Tham khảo:
Xét hàm số g(x) = f(x) − f(x + 0,5)
Ta có
g(0) = f(0) − f(0 + 0,5) = f(0) − f(0,5)
g(0,5) = f(0,5) − f(0,5 + 0,5) = f(0,5) − f(1) = f(0,5) − f(0)
(vì theo giả thiết f(0) = f(1)).
Do đó,
