Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ \(x^4+5>x^2+4x\)
\(\Leftrightarrow x^4-2x^2+1+x^2-4x+4>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2+\left(x-2\right)^2>0\) đúng vì đấu = không xảy ra
2/ Ta có:
\(a=\sqrt{90-b^2-c^2}\le\sqrt{90-5^2-6^2}< 6\)
Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}b< 7\\c\le7\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a-4\right)\left(a-9\right)+\left(b-5\right)\left(b-8\right)+\left(c-6\right)\left(c-7\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-13\left(a+b+c\right)+118\le0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge16\)
a) Giả sử \(m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{b}\)
\(\Leftrightarrow m\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow m\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow m.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\) (do \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\) )
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\) (luôn đúng).
Vậy điều giả sử đúng.
Ta chứng minh được:
Nếu \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\) thì \(m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{b}\).
b) Có: \(m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{b}\)\(\Leftrightarrow m\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow m\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\) (do \(m\ne0\) )
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\) (đpcm).
c) Có \(m\overrightarrow{a}=n\overrightarrow{a}\Leftrightarrow m\overrightarrow{a}-n\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\left(m-n\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow m-n=0\) ( do \(\overrightarrow{a}\ne0\) )
\(\Leftrightarrow m=n\) (đpcm).
Chỉ đúng trong trường hợp các số thực dương (kì lạ là các bạn rất thích quên điều kiện này khi đăng đề lên)
a/ \(\frac{a^3}{b^2}+a\ge2\sqrt{\frac{a^4}{b^2}}=\frac{2a^2}{b}\) ; \(\frac{b^3}{c^2}+b\ge\frac{2b^2}{c}\); \(\frac{c^3}{a^2}+c\ge\frac{2c^2}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(VT+a+b+c\ge2VP\Rightarrow VT\ge2VP-\left(a+b+c\right)\)
Mà \(2VP=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow2VP\ge VP+a+b+c\)
\(\Rightarrow2VP-\left(a+b+c\right)\ge VP\)
\(\Rightarrow VT\ge VP\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Câu dưới tương tự:
\(\frac{a^5}{b^3}+a^2+a^2\ge\frac{3a^3}{b}\) , làm tương tự với 2 cái còn lại và cộng lại:
\(\Rightarrow VT+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)=3\left(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{ca}+\frac{c^4}{ab}\right)\ge\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge a^2+b^2+c^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
a) ta có : A+B+C=180=\(\pi\)
=>B+C= \(\pi\) - A
=> sin (B+C)=Sin(\(\pi\)-A)=SinA
b) tương tự:
cos( A+B)= Cos (\(\pi\)-C)=-cosC
c) ta có A+B+C =\(\pi\)=>\(\frac{A}{2}\)+\(\frac{B}{2}\)+\(\frac{C}{2}\)=\(\frac{\pi}{2}\)
=> sin (\(\frac{B+C}{2}\))=sin(\(\frac{\pi}{2}\)-\(\frac{A}{2}\))=cos(\(\frac{A}{2}\))
d) tương tự:
tan \(\frac{A+C}{2}\)=tan(\(\frac{\pi}{2}\)-\(\frac{B}{2}\))= cot\(\frac{B}{2}\)
===> đpcm
Ta có:
\(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
\(\Rightarrow VT-VP=a^3+b^3+c^3+ab+bc+ca-6\ge a^3+b^3+c^3-ab-bc-ca\) (Giải thích:\(-6\ge-2\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow a^3+b^3+c^3+ab+bc+ca-6\ge a^3+b^3+c^3-ab-bc-ca\))
Ta lại có:
\(a^3+b^3+c^3-ab-bc-ca\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]^2}{3}-3=0\)
\(\Rightarrow VT-VP\ge0\)
\(\Rightarrow P\ge6\)
Nếu có không đúng thì nhớ nói nhe chớ đừng có k sai tui giống mấy lần trước nhe :(
Bài ở dưới mình nhầm nhe.
Update
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{3}=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}\ge\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}+\frac{9}{2}=6\)
Lời giải:
Đặt \((a,b,c)=(m+4,n+5,p+6)\Rightarrow m,n,p\geq 0\)
Điều kiện đb trở thành:
\(a^2+b^2+c^2=90\Leftrightarrow m^2+n^2+p^2+8m+10n+12p=13\)
Vì \(m,n,p\geq 0\) nên:
\(13=m^2+n^2+p^2+8m+10n+12p\leq (m+n+p)^2+12(m+n+p)\)
\(\Leftrightarrow (m+n+p+13)(m+n+p-1)\geq 0\)
\(\Rightarrow m+n+p\geq 1\)
\(\Rightarrow a+b+c=m+n+p+15\geq 16\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(4,5,7)\)
28/11/2017 mà chị vẫn giải à