Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}\ge\dfrac{9}{1+1+1+ab+bc+ca}\)(AM-GM)
Lại có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+a^2+b^2+c^2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Cháu làm cho bác câu 2 thôi,câu 3 THANGDZ làm rồi sợ mất bản quyền lắm:v
Lời giải:
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}\)
\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac+3bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ac}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
a ) \(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2.0=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=0\)
Do \(a^2\ge0;b^2\ge0;c^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge0\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=0\) ( * )
Thay * vào biểu thức M , ta được :
\(M=\left(0-1\right)^{1999}+0^{2000}+\left(0+1\right)^{2001}\)
\(=-1^{1999}+0+1^{2001}\)
\(=-1+0+1\)
\(=0\)
Vậy \(M=0\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{abc}+\dfrac{ac}{abc}+\dfrac{ab}{abc}=\dfrac{1}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{bc+ac+ab-1}{abc}=0\)
\(\Leftrightarrow bc+ac+ab-1=0\)
\(\Leftrightarrow bc+ac+ab=1\)
Mà \(a^2+b^2+c^2=1\)
\(\Rightarrow bc+ac+ab=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2bc+2ac+2ab=2a^2+2b^2+2c^2\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2bc-2ac-2ab=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)
Do \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(a-c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Mà \(P=\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{c+a}{a+b}\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{a+c}{a+c}\)
\(\Rightarrow P=1+1+1=3\)
Vậy \(P=3\)
Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
\(a^2+b^2+c^2+2ac+2ab+2bc=a^2+b^2+c^2\)
\(ab+bc+ca=0\)
\(ab+bc=-ac\)
\(\left(ab+bc\right)^3=-a^3c^3\)
\(a^3c^3+a^3b^3+b^3c^3+3ab^2c\left(ab+bc\right)=0\)
\(a^3c^3+a^3b^3+b^3c^3=-3ab^2c\left(-ac\right)\)
\(a^3c^3+a^3b^3+b^3c^3=3a^2b^2c^2\)
Ta có:
\(\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ab}{c^2}+\dfrac{ac}{b^2}=\dfrac{b^3c^3+a^3b^3+a^3c^3}{a^2b^2c^2}=\dfrac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=3\)
Lời giải:
a) Vì $abc=1$ nên ta có:
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac}{abc.+ac+c}+\frac{b.ac}{bc.ac+b.ac+ac}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+1+c}{ac+c+1}=1\)
(đpcm)
b)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=ka\\ y=kb\\ z=kc\end{matrix}\right.\)
\(x+y+z=ka+kb+kc=k(a+b+c)=k\)
\(x^2+y^2+z^2=k^2a^2+k^2b^2+k^2c^2=k^2(a^2+b^2+c^2)=k^2\)
\(\Rightarrow A=xy+yz+xz=\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{k^2-k^2}{2}=0\)
Ta có:
(a+b+c)2=a2+b2+c2
a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=a2+b2+c2
2(ab+bc+ca)=0
ab+bc+ca=0
Ta có:
\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\)
\(\dfrac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^3b^3c^3}=\dfrac{3}{abc}\)
\(\dfrac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^2b^2c^2}=3\)
\(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2\)
\(\left(ab+bc\right)^3-3ab^2c\left(ab+bc\right)+a^3c^3-3a^2b^2c^2=0\)
\(\left(ab+bc+ca\right)^3-3ca\left(ab+bc\right)\left(ab+bc+ca\right)-3ab^2c\left(-ac\right)-3a^2b^2c^2=0\)
\(0+3a^2b^2c^2-3a^2b^2c^2+0=0\)
0=0(luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
Ta có : \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-a^2-b^2-c^2=0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=0\)
\(\Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2\)
Chia cả 2 vế cho \(a^3b^3c^3\) , ta có :
\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\left(đpcm\right)\)
Bài 1)
Vì \(a,b,c\) là ba cạnh của tam giác nên :
\(a+b-c,b+c-a,c+a-b>0\)
Đặt \((a+b-c,b+c-a,c+a-b)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=\left(\frac{x+z}{2},\frac{x+y}{2},\frac{y+z}{2}\right)\)
BĐT cần CM tương đương:
\((x+y)(y+z)(x+z)\geq 8xyz\) với \(x,y,z>0\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\((x+y)(y+z)(x+z)\geq 2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}=8xyz\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)
Bài 2)
Để đề bài chặt chẽ phải bổ sung điều kiện \(a,b,c>0\)
\((a^2+b^2+c^2)^2>2(a^4+b^4+c^4) \Leftrightarrow 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) >a^4+b^4+c^4\)
\(\Leftrightarrow 4a^2b^2>(c^2-a^2-b^2)^2\Leftrightarrow (2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)>0\)
\(\Leftrightarrow [(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]>0\)
\(\Leftrightarrow (a+b-c)(a+b+c)(c+b-a)(c+a-b)>0\)
\(\Leftrightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0\). Khi đó xảy ra các TH:
+) Cả ba nhân tử \(a+b-c,b+c-a,c+a-b>0\) đồng nghĩa với \(a,b,c\) là ba cạnh tam giác
+ ) Tồn tại một nhân tử nhỏ hơn $0$ sẽ kéo theo bắt buộc phải có thêm một nhân tử nhỏ hơn $0$ nữa. Giả sử \(\left\{\begin{matrix} a+b-c<0\\ b+c-a<0\end{matrix}\right.\Rightarrow 2b < 0\) (vô lý)
Vậy ta có đpcm
Nội suy Sửa đề làm cho bạn
Bài 1:
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{26}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2009}\)Nhân 2 chuyển Vế
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac-\left[\dfrac{\left(a-b\right)^2}{13}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{3}+\dfrac{2\left(c-a\right)^2}{2009}\right]\ge0\)Ghép Bình phướng
\(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2-\left[\dfrac{\left(a-b\right)^2}{13}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{3}+\dfrac{2.\left(c-a\right)^2}{2009}\right]\ge0\)Ghép nhân tử
\(\left[\left(a-b\right)^2\left(1-\dfrac{1}{13}\right)+\left(b-c\right)^2\left(1-\dfrac{1}{3}\right)+\left(c-a\right)^2\left(1-\dfrac{2}{2009}\right)\right]\ge0\)
Thu gọn có thể không cần
\(\left[\left(a-b\right)^2\left(\dfrac{12}{13}\right)+\left(b-c\right)^2\left(\dfrac{2}{3}\right)+\left(c-a\right)^2\left(\dfrac{207}{2009}\right)\right]\ge0\)VT là tổng 3 số không âm
Đẳng thức khi a=b=c
=> dpcm
Có :
\(\left(a^2-bc\right)\left(b-abc\right)=\left(b^2-ac\right)\left(a-abc\right)\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)+c\left(a^2-b^2\right)=abc^2\left(a-b\right)+abc\left(a^2-b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b-a^3bc-b^2c+ab^2c^2=ab^2-ab^3c-a^2c+a^2bc^2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)+c\left(a-b\right)\left(a+b\right)=abc^2\left(a-b\right)+abc\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ab+ac+bc\right)=abc\left(a-b\right)\left(a+b+c\right)\)
Chia 2 vế cho abc(a-b) khác 0 ta được :
\(\left(ab+ac+bc\right):abc=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{abc}+\dfrac{bc}{abc}+\dfrac{ac}{abc}=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=a+b+c\left(đpcm\right)\)