Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nếu nn chẵn thì cái tổng chia hết cho 2
Nếu nn lẻ thì
Phân tích nhân tử
Ta có n4+4n=(n2)2+(2n)2+2.n2.2n−2.n2.2n=(n2+2n)2−n2.2n+1=(n2+2n−n.2n+12)(n2+2n+n.2n+12)n4+4n=(n2)2+(2n)2+2.n2.2n−2.n2.2n=(n2+2n)2−n2.2n+1=(n2+2n−n.2n+12)(n2+2n+n.2n+12)
Ta chỉ cần chứng minh cả 2 thừa số đều lớn hơn 1 là được
Tức là ta chứng minh n2+2n−n.2n+12≥1n2+2n−n.2n+12≥1
Tương đương với n2+2n+1−2n.2n+12+n2≥2n2+2n+1−2n.2n+12+n2≥2 ( nhân 2 cho 2 vế )
BĐT <=>(n−2n+12)2+n2≥2<=>(n−2n+12)2+n2≥2 đúng với nn lẻ và n≥3n≥3
Vậy, ta có điều phải chứng minh
Đúng thì 
Gọi A là vế trái của bất đăng thức trên . ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức dưới dạng phương pháp làm trội , để chứng minh A< b , ta làm trội A thành C ( A<C ) rồi chứng minh C>= B ( biểu thức C đóng vai trò là biểu thức trung gian để so sánh A và B)
làm trội mỗi phân số ở A bằng cách làm giảm các mẫu , ta có
\(\frac{1}{k^3}\)< \(\frac{1}{k^3-k}\)= \(\frac{1}{k\left(k^2-1\right)}\)= \(\frac{1}{\left(k-1\right)k\left(k+1\right)}\)
do đó
A < \(\frac{1}{2^3-2}\)+ \(\frac{1}{3^3-3}\)+.....+\(\frac{1}{n^3-n}\)= \(\frac{1}{1.2.3}\)+ \(\frac{1}{2.3.4}\)+ .....+ \(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
đặt C = \(\frac{1}{1.2.3}\)+ \(\frac{1}{2.3.4}\)+.....+\(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\), nhận xét rằng
\(\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)- \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)= \(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
nên C = \(\frac{1}{2}\)[\(\frac{1}{1.2}\)- \(\frac{1}{2.3}\)-......- \(\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)-\(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)]
= \(\frac{1}{2}\)[\(\frac{1}{2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)]
= \(\frac{1}{4}\)- \(\frac{1}{2n\left(n+1\right)}\)< \(\frac{1}{4}\)
vậy ta có điều phải chứng minh
Đây là toán 8 thật à :(((((
\(a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n+1\)
Đặt \(b_n=a_{n+1}-a_n\Rightarrow b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)
\(\Rightarrow b_{n+1}=a_{n+1}-a_n+1=b_n+1\)
Lại có \(b_1=a_{1+1}-a_1=a_2-a_1=2\)
\(\Rightarrow b_2=b_1+1\)
\(\Rightarrow b_3=b_2+1\)
...
\(\Rightarrow b_n=b_{n-1}+1\)
Cộng vế với vế:
\(b_2+b_3+...+b_{n-1}+b_n=b_1+b_2+...+b_{n-1}+1+1+...+1\) (n-1 số 1)
\(\Rightarrow b_n=b_1+1\left(n-1\right)=n+1\)
\(\Rightarrow a_{n+1}-a_n=n+1\)
Từ đó \(\Rightarrow a_{n+1}=a_n+n+1\)
\(\Rightarrow a_n=a_{n-1}+n\)
\(\Rightarrow a_{n-1}=a_{n-2}+n-1\)
...
\(\Rightarrow a_3=a_2+3\)
\(\Rightarrow a_2=a_1+2\)
Lại cộng vế với nhau:
\(a_{n+1}+a_n+...+a_3+a_2=a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+\left(n+1\right)+n+...+2\)
\(\Rightarrow a_{n+1}=a_1+\left(n+1\right)+n+...+2\)
\(\Rightarrow a_{n+1}=\left(n+1\right)+n+...+2+1\)
\(\Rightarrow a_n=n+n-1+...+1=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow a_{n+2}=\frac{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{2}\)
\(\Rightarrow4a_{n+2}a_n+1=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)
\(=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1\)
\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)
\(=\left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)+1\)
\(=\left(n^2+3n+1\right)^2\) (đpcm)
a)A = n^3-3n^2-n+3 = n^2(n - 3) - (n-3) = (n -3)(n-1)(n+1)
vì n lẻ nên:
(n-1)(n+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
(n - 3) là số chẵn chia hết cho 2
=> A chia hết cho 16(*)
mặt khác:
A = n^3-3n^2-n+3 = n^3 - n - 3(n^2 - 1) = n(n+1)(n-1) - 3(n^2-1)
xét các trường hợp:
n = 3k => n(n+1)(n-1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
n = 3k + 1 => (n -1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
n = 3k + 2 => (n+1) = 3k + 3 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3 (**)
(*) và (**) => A chia hết cho 3.16 = 48 (3,16 là 2 số nguyên tố cùng nhau).
b)A =n^12-n^8-n^4+1
=(n^8-1)(n^4-1)=(n^4+1)(n^4-1)^2
=(n^4+1)[(n^2+1)(n^2-1)]^2
=(n-1)^2*(n+1)^2*(n^2+1)^2*(n^4+1)
Ta có n-1 và n+1 là 2 số chẵn liên tiếp nên có 1 số chỉ chia hết cho 2 ,1 số chia hết cho 4 nên (n-1)(n+1) chia hết cho 8 => (n-1)^2*(n+1)^2 chia hết cho 64
Mặt khác n lẻ nên n^2+1,n^4+1 cũng là số chẵn nên (n^2+1)^2*(n^4+1) chia hết cho 2^3=8
Do đó : A chia hết cho 64*8=512
\(N=n^4+4n^2+4-4n^2=\left(n^2+2\right)^2-\left(2n\right)^2\)
\(N=\left(n^2-2n+2\right)\left(n^2+2n+2\right)\)
\(n>1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2-2n+2>1\\n^2+2n+2>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\) là tích của 2 số tự nhiên lớn hơn 1 nên N là hợp số