Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Biến đồi tương đương:
\(\left(x^2+y^2\right)^2\ge8\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\ge8xy\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+y^2\right)^2\ge0\)(đúng)
2) Sửa đề: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\left(\text{với }xy\ge1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(xy+1\right)}\ge0\) (đúng)
Ta có:
\(\left|H\right|=\left|\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}\right|\le\dfrac{\left|xy\right|+\left|yz\right|+\left|zx\right|}{\left|xyz\right|}=\dfrac{1}{\left|x\right|}+\dfrac{1}{\left|y\right|}+\dfrac{1}{\left|z\right|}\le\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=1\)
\(\Rightarrow H\le1\) (đpcm)
mình nghĩ ra cách này ko biết đúng hay sai, nhưng mình sẽ cm cho bạn xem trước cái này để mình đảo lại trong quá trình làm bài luôn cho đỡ mất thời gian
\(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x-z}=\dfrac{x-z-x+y}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}=\dfrac{\left(y-z\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\)
thế nên sẽ đảo ngược lại trong bài này, vây ta sẽ có
\(\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}=\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x-z}\\ \dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(x-y\right)}=\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{x-y}\\ \dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(y-x\right)}=\dfrac{1}{z-x}-\dfrac{1}{y-z}\)
thay vào đề bài ta được
\(\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(y-x\right)}\\ =\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x-z}+\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{y-x}+\dfrac{1}{z-x}-\dfrac{1}{y-x}\\ =\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}+\dfrac{1}{z-x}\\ =\dfrac{2}{x-y}+\dfrac{2}{y-x}+\dfrac{2}{z-x}\left(đpcm\right)\)
vậy ...
mình nghĩ ra thì là như z, chúc may mắn :)
\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left[\left(xy+\frac{1}{xy}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\right]\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}-xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}-\frac{1}{xy}\right)\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)\)
\(=-\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=-\left(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(-\left(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(=4\)
Vậy giá trị bt ko phụ thuộc vào biến
bn có thể giải thích rõ hơn tại sao lại bằng 4 được không? Dù gì thì cx cảm ơn bn đã tl câu hỏi của mk
Ta có: (a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2
\(\Leftrightarrow\)a2x2+a2y2+b2x2+b2y2=a2x2+2abxy+b2y2
\(\Leftrightarrow\)a2y2-2abxy+b2x2=0
\(\Leftrightarrow\)(ay-bx)2=0
\(\Leftrightarrow\)ay=bx
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{x}\)=\(\frac{b}{y}\)
#)Giải :
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+2abxy+b^2y^2\)
\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2=2abxy\)
\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2-2abxy=0\)
\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2=0\)
\(\Rightarrow ay-bx=0\)
\(\Rightarrow ay=bx\)
\(\Rightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)(theo tính chất tỉ lệ thức)
\(\Rightarrowđpcm\)