\(\dfrac{87}{89}< \dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\df...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2018

Lời giải:

a) Ta thấy: \(a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0, \forall a,b>0\)

\(\Rightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}>0\Rightarrow \frac{1}{a+b}\le \frac{1}{2\sqrt{ab}}\).

Vì $a> b$ nên dấu bằng không xảy ra . Tức \(\frac{1}{a+b}< \frac{1}{2\sqrt{ab}}\)

Ta có đpcm

b)

Áp dụng kết quả phần a:

\(\frac{1}{3}=\frac{1}{1+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.1}}\)

\(\frac{1}{5}=\frac{1}{3+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.3}}\)

\(\frac{1}{7}=\frac{1}{4+3}< \frac{1}{2\sqrt{4.3}}\)

.....

\(\frac{1}{4021}=\frac{1}{2011+2010}< \frac{1}{2\sqrt{2011.2010}}\)

Do đó:

\(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{5}+...+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{4021}\)

\(< \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2\sqrt{2.1}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3.2}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2\sqrt{4.3}}+....+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{2\sqrt{2011.2010}}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{2010}}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}< \frac{1}{2}\) (đpcm)

Y
24 tháng 5 2019

https://hoc24.vn/hoi-dap/question/817465.html

Bn tham khảo ở đây nha!

Mk lm r, k muốn lm lạihaha

a)

+) Ta có: \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{2\sqrt{n}}>\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\dfrac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\) \(=\dfrac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{n+1-n}\)

\(=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\) (1)

+) Ta có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{2\sqrt{n}}< \dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\dfrac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}\) \(=\dfrac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{n-\left(n-1\right)}\)

\(=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\) (2)

Từ (1)(2) ⇒ đpcm

Học toán vui vẻ! banhqua

4 tháng 7 2016

mới giải đucợ 1 vế nè. xem tạm nhé
đặt cái biểu thức là S đi ^^
ta có:

\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\left(n+1\right)n}=\sqrt{n}.\frac{1}{n\left(n+1\right)} =\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) .\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(\sqrt{n}.\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right).\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

 =\(\sqrt{n}.\frac{2}{\sqrt{n}}.\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=2.\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)

áp dụng ta được: \(\frac{1}{2\sqrt{1}}< \frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}\)

\(\frac{1}{3\sqrt{2}}< \frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}\)

...................................................

\(\frac{1}{2011\sqrt{2010}}< \frac{2}{\sqrt{2010}}-\frac{2}{\sqrt{2011}}\)

=> \(S< 2-\frac{2}{\sqrt{2011}}< \frac{88}{45}\)
còn một vế nữa để mai nhé ^^ giờ mình bận :P hì

4 tháng 7 2016

mình bị ấn sai r :3 \(\frac{1}{3\sqrt{2}}< \frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}\)đó nhá.sr nha ^^

2 tháng 9 2017

bài này sai đề ak

6 tháng 9 2017

sao sai