Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
\(2x^2+2x+1=2\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}=2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}>0\Rightarrowđpcm\)Bài 2:
\(A=x^2-3x+5=\left(x^2-3x+\dfrac{9}{4}\right)+\dfrac{11}{4}=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\)Với mọi giá trị của x ta có:
\(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\ge\dfrac{11}{4}\)
Vậy GTNN của A là \(\dfrac{11}{4}\)
Để \(A=\dfrac{11}{4}\) thì \(x-\dfrac{3}{2}=0\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\)
b, \(B=\left(2x-1\right)^2+\left(x+2\right)^2=4x^2-4x+1+x^2+4x+4=5x^2+5=5\left(x^2+1\right)\)
Với mọi giá trị của x ta có:
\(x^2\ge0\Rightarrow x^2+1\ge1\Rightarrow5\left(x^2+1\right)\ge5\)
Vậy \(Min_B=5\)
Để B = 5 thì \(x^2=0\Rightarrow x=0\)
Bài 3:
\(A=4-x^2+2x=-\left(x^2-2x+1\right)+5=-\left(x-1\right)^2+5\)
Với mọi giá trị của x ta có:
\(\left(x-1\right)^2\ge0\Rightarrow-\left(x-1\right)^2\le0\Rightarrow-\left(x-1\right)^2+5\le5\)Vậy \(Max_A=5\)
Để A = 5 thì \(x-1=0\Rightarrow x=1\)
b, \(B=4x-x^2=4-\left(4-4x+x^2\right)=4-\left(2-x\right)^2\)
Với mọi giá trị của x ta có :
\(\left(2-x\right)^2\ge0\Rightarrow4-\left(2-x\right)^2\le4\)
Vậy \(Max_B=4\)
Để B = 4 thì \(2-x=0\Rightarrow x=2\)
Bài 1: CMR các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biểu thức
\(2x^2+2x+1\)
Ta có: \(2x^2>2x\forall x\) mà \(2x^2\ge0\)
\(\Rightarrow2x^2-2x\ge0\)
Vậy \(2x^2+2x+1\ge1\) (đpcm)
A=x 2−2x+2
=x2-2x+1+1
=(x2-2x+1)+1
=(x-1)2+1
vì (x-1)2\(\ge0\forall x\)
=>(x-1)2+1\(\ge1\)
vậy A luôn dương với mọi x
B=x2+y2+2x−4y+6
=x2+2x+1+y2-4y+4+1
=(x2+2x+1)+(y2-4y+4)+1
=(x+1)2+(y-2)2+1
do (x+1)2\(\ge0\forall x\)
(y-2)2\(\ge0\forall y\)
=>(x+1)2+(y-2)2\(\ge0\)
=>(x+1)2+(y-2)2+1\(\ge1\)
=>B\(\ge1\)
vậy B luôn dương với mọi x;y
C= x2+y2+z2+4x−2y−4z+10
=x2+4x+4+y2-2y+1+z2-4z+4+1
=(x2+4x+4)+(y2-2y+1)+(z2-4z+4)+1
=(x+2)2+(y-1)2+(z-2)2+1
do (x+2)2\(\ge0\forall x\)
(y-1)2\(\ge0\forall y\)
(\(\)z-2)2\(\ge0\forall z\)
=>(x+2)2+(y-1)2+(z-2)2\(\ge0\)
=>(x+2)2+(y-1)2+(z-2)2+1\(\ge1\)
=>C\(\ge1\)
vậy C luôn dương với mọi x;y;z
bài 2: tìm x
a)\(x^2+y^2-2x+4y+5=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2x+4y+1+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+4y+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y+2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy x=1; y=-2
b)\(5x^2+9y^2-12xy-6x+9=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x^2-12xy+9y^2\right)+\left(x^2-6x+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3y\right)^2+\left(x-3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-3y=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2.3-3.y=0\\x=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=3\end{matrix}\right.\)
Vậy x=2; y=3
Bài 3:
a) ta có: \(A=x^2+4x+9\)
\(=x^2+4x+4+5=\left(x+2\right)^2+5\)
Ta có: \(\left(x+2\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+5\ge5\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi
\(\left(x+2\right)^2=0\Leftrightarrow x+2=0\Leftrightarrow x=-2\)
Vậy: GTNN của đa thức \(A=x^2+4x+9\) là 5 khi x=-2
b) Ta có: \(B=2x^2-20x+53\)
\(=2\left(x^2-10x+\frac{53}{2}\right)\)
\(=2\left(x^2-10x+25+\frac{3}{2}\right)\)
\(=2\left[\left(x-5\right)^2+\frac{3}{2}\right]\)
\(=2\left(x-5\right)^2+2\cdot\frac{3}{2}\)
\(=2\left(x-5\right)^2+3\)
Ta có: \(\left(x-5\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow2\left(x-5\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow2\left(x-5\right)^2+3\ge3\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi
\(2\left(x-5\right)^2=0\Leftrightarrow\left(x-5\right)^2=0\Leftrightarrow x-5=0\Leftrightarrow x=5\)
Vậy: GTNN của đa thức \(B=2x^2-20x+53\) là 3 khi x=5
c) Ta có : \(M=1+6x-x^2\)
\(=-x^2+6x+1\)
\(=-\left(x^2-6x-1\right)\)
\(=-\left(x^2-6x+9-10\right)\)
\(=-\left[\left(x-3\right)^2-10\right]\)
\(=-\left(x-3\right)^2+10\)
Ta có: \(\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow-\left(x-3\right)^2\le0\forall x\)
\(\Rightarrow-\left(x-3\right)^2+10\le10\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi
\(-\left(x-3\right)^2=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=0\Leftrightarrow x-3=0\Leftrightarrow x=3\)
Vậy: GTLN của đa thức \(M=1+6x-x^2\) là 10 khi x=3
Bài 2:
a) \(\left(x+y\right)^2+\left(x^2-y^2\right)\)
\(=\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right).\left(x+y\right)\)
\(=\left(x+y\right).\left(x+y+x-y\right)\)
\(=\left(x+y\right).2x\)
c) \(x^2-2xy+y^2-z^2+2zt-t^2\)
\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(z^2-2zt+t^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)^2-\left(z-t\right)^2\)
\(=\left[x-y-\left(z-t\right)\right].\left(x-y+z-t\right)\)
\(=\left(x-y-z+t\right).\left(x-y+z-t\right)\)
Chúc bạn học tốt!
Bài 1: Rút gọn
a) Ta có: \(A=\left(x-2\right)^2+\left(x+3\right)^2-2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
\(=x^2-4x+4+x^2+6x+9-2\left(x^2-1\right)\)
\(=2x^2+2x+13-2x^2+2\)
\(=2x+15\)
b) Ta có: \(B=\left(2x-1\right)^2+2\left(2x-1\right)\left(x+1\right)+\left(x+1\right)^2\)
\(=\left(2x-1+x+1\right)^2\)
\(=\left(3x\right)^2=9x^2\)
Bài 2: Tính nhanh
a) Ta có: \(A=138^2+124\cdot138+62^2\)
\(=138^2+2\cdot138\cdot62+62^2\)
\(=\left(138+62\right)^2\)
\(=200^2=40000\)
b) Ta có: \(B=\left(100^2+98^2+...+2^2\right)-\left(99^2+97^2+...+3^2+1^2\right)\)
\(=100^2-99^2+98^2-97^2+...+2^2-1\)
\(=\left(100-99\right)\left(100+99\right)+\left(98-97\right)\left(98+97\right)+...+\left(2-1\right)\left(2+1\right)\)
\(=100+99+98+97+..+2+1\)
\(=5050\)
Bài 3: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến
a) Ta có: \(x^2-5x+10\)
\(=x^2-2\cdot x\cdot\frac{5}{2}+\frac{25}{4}+\frac{75}{4}\)
\(=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{75}{4}\)
Ta có: \(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{75}{4}\ge\frac{75}{4}\forall x\)
hay \(x^2-5x+10>0\forall x\)(đpcm)
b) Ta có: \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)+5\)
\(=x^2-3x+2+5\)
\(=x^2-3x+7\)
\(=x^2-2\cdot x\cdot\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\)
\(=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\)
Ta có: \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\ge\frac{19}{4}\forall x\)
hay \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)+5>0\forall x\)(đpcm)
Vì \(x^2-4x+5=x^2-4x+4+1=\left(x-2\right)^2+1\ge1>0\) với mọi giá trị của \(x\) nên giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị khác 0 và khác -3 của \(x\)
\(x^2+2xy+y^2-9\\ =\left(x+y\right)^2-3^2\\ =\left(x+y+3\right)\left(x+y-3\right)\)
\(x^4-x^3-3x^2+x+2\\ =x^4-x^2-x^3+x-2x^2+2\\ =x^2\left(x^2-1\right)-x\left(x^2-1\right)-2\left(x^2-1\right)\\ =\left(x^2-1\right)\left(x^2-x-2\right)\\ \left(x^4-x^3-3x^2+x+2\right):\left(x^2-1\right)\\ =\dfrac{x^4-x^3-3x^2+x+2}{x^2-1}\\ =\dfrac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-x-2\right)}{x^2-1}\\ =x^2-x-2\)
\(x^2-2x+5\\ =x^2-2x+1+4\\ =\left(x-1\right)^2+4\\ \left(x-1\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+4\ge4>0\)
Vậy biểu thức luôn dương với mọi x
ta có
B=(x^2-2x+1)+[(3y)^2-6y+1]+1
B=(x-1)^2+(3y-1)^2+1
Mả (x-1)^2+(3y_1)^2 luôn luôn >=0
Vậy B mìn =1khi và chỉ khi x=1 va y=1/3
a, x2+x+1
=(x2+2.\(\frac{1}{2}\)x+\(\frac{1}{4}\))+1-\(\frac{1}{4}\)
=(x+\(\frac{1}{2}\))2+\(\frac{3}{4}\)
Ta có :\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0với\forall x\\\frac{3}{4}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)với \(\forall x\)
b, 2x2+y2+2x+2xy+2
=x2+x2+y2+2x+2xy+1+1
=(x2+2xy+y2)+(x2+2x+1)+1
=(x+y)2+(x+1)2+1
Ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2\ge0với\forall x,y\\\left(x+1\right)^2\ge0với\forall x\\1>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\)(x+y)2+(x+1)2+1>0 với \(\forall\)x,y
a) \(x^2+x+1\)
\(=x^2+2\cdot\frac{1}{2}\cdot x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)
\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)
ta có \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) với \(\forall x\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) với \(\forall x\)
hay \(x^2+x+1>0\) với \(\forall x\)
b)\(2x^2+y^2+2x+2xy+2\)
\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2+2x+1\right)+1\)
\(=\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+1\)
ta có \(\left(x+y\right)^2\ge0\) với \(\forall x\),
\(\left(x+1\right)^2\ge0\) với \(\forall x\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2\ge0\) với \(\forall x\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+1>0\) với \(\forall x\)
hay \(2x^2+y^2+2x+2xy+2>0\) với \(\forall x\)