TH
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TD
1
11 tháng 9 2020
Bằng phản chứng giả sử a và b đều âm
\(\Rightarrow a< 0,b< 0\Rightarrow a+b< 0\)
Mà theo đề: \(a+b>0\)---> Mâu thuẫn giả thiết, vậy có ít nhất 1 trong a,b phải dương
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 3 2021
Lời giải:
Ta có:
$a^3+b^3-ab(a+b)=(a-b)^2(a+b)\geq 0$ với mọi $a\geq 0; b\geq 0$
$\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 3 2021
\(VT\ge\dfrac{1}{\left(a^2+1\right)-1}+\dfrac{1}{\left(b^2+1\right)-1}+\dfrac{1}{\left(c^2+1\right)-1}+4-\dfrac{4}{ab+1}+4-\dfrac{4}{bc+1}+4-\dfrac{4}{ca+1}\)
\(VT\ge\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{4}{ab+1}-\dfrac{4}{bc+1}-\dfrac{4}{ca+1}+12\)
Mặt khác \(a;b;c\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab+1\ge a+b\) (và tương tự...)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}-\dfrac{4}{a+b}-\dfrac{4}{b+c}-\dfrac{4}{c+a}+12\)
\(VT\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{4}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{4}{\left(c+a\right)^2}-\dfrac{4}{a+b}-\dfrac{4}{b+c}-\dfrac{4}{c+a}+1+1+1+9\)
\(VT\ge\left(\dfrac{2}{a+b}-1\right)^2+\left(\dfrac{2}{b+c}-1\right)^2+\left(\dfrac{2}{c+a}-1\right)^2+9\ge9\)
TT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 7 2017
Lời giải:
Đặt \(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}\Rightarrow P+6=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{4(a+b+c)}{a+b}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P+6\geq (a+b+c)\frac{(1+1+2)^2}{2(a+b+c)}=8\)
\(\Rightarrow P\geq 2\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{1}{b+c}=\frac{1}{c+a}=\frac{2}{a+b}\). Điều này không thể xảy ra do đó \(P>2\)
Ta có đpcm.
20 tháng 3 2018
a)\(a^2+ab+b^2=a^2+\dfrac{2ab}{2}+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\)
\(=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\forall a,b\)
b)\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\forall a,b\)
9 tháng 12 2015
Áp dụng bdt cosi:
\(\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{c}+\frac{c^4}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^4}{b}.\frac{b^4}{c}.\frac{c^4}{a}}=3abc\)
26 tháng 9 2018
Gs a+b+c>1/a+1/b+1/c nhưng không t/m một và chỉ một trong 3 số a,b,c lớn hơn 1 TH1:Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 1 hoặc đều nhỏ hơn 1 suy ra mâu thẫn( vì abc=1) TH2 có 2 số lớn hơn 1 Gs a>1,b>1,c<1 suy ra a-1>0,b-1>0,c-1<0 suy ra (a-1)(b-1)(c-1)<0 suy ra abc+a+b+c-(ab+bc+ca)-1<0 suy ra a+b+c<ab+bc+ca suy ra a+b+c<abc/c+abc/a+abc/b suy ra a+b+c<1/a+1/b+1/c(mâu thuẫn với giả thuyết nên điều giả sử sai) suy ra đpcm
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(ab+1\ge2\sqrt{ab\cdot1}=2\sqrt{ab}\)
Nhân theo vế 2 BĐT ta có:
\(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{ab}=4\sqrt{a^2b^2}=4ab\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)
\(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(ab+1\right)}{ab}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)\left(ab+1\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(ab+1\right)\ge4\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\\ab+1\ge2\sqrt{ab}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(ab+1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}.2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(ab+1\right)\ge4\) ( đpcm )