Question

[Nguyên võ]

chứng minh:  n²(n² - 1) chia hêt 12

Answer 1

[Akai Haruma]

Bổ sung thêm điều kiện $n$ là số tự nhiên bạn nhé.

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

$A=n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1)$

Với $n$ chia hết cho 3 thì hiển nhiên $n^2(n-1)(n+1)\vdots 3$

Với $n$ chia $3$ dư $1$ thì $n-1\vdots 3\Rightarrow A=n^2(n-1)(n+1)\vdots 3$

Với $n$ chia $3$ dư $2$ thì $n+1\vdots 3\Rightarrow A=n^2(n-1)(n+1)\vdots 3$

Vậy tóm lại $A\vdots 3$ với mọi $n$ $(1)$

Mặt khác:

Nếu $n$ lẻ thì đặt $n=2k+1$. Khi đó $A=(2k+1)^2[(2k+1)^2-1]$

$=(2k+1)^2(4k^2+4k)=4(2k+1)^2(k^2+k)\vdots 4$

Nếu $n$ chẵn thì đặt $n=2k$. Khi đđ: $A=(2k)^2(4k^2-1)=4k^2(4k^2-1)\vdots 4$

Vậy tóm lại $A\vdots 4(2)$

Từ $(1); (2)$, mà $(3,4)=1$ nên $A\vdots (3.4)$ hay $A\vdots 12$.